基于跳跃扩散过程的保险资金最优投资模型

摘 要 ：保险公司的盈余为跳跃扩散过程,保险人投资于债券和股票,且股票的服从跳跃扩散过程的最优投资组合.在均值-方差准则下通过随机最优控制方法,建立并求解保险资金投资模型的HJB方程,获得了保险资金最优投资模型和有效边界的闭式解,并进行了数值模拟.结果显示,投资于风险证券的资金量与初始资本金并不是简单的正比例关系.

关 键 词 ： 跳跃扩散过程；最优投资模型；均值-方差原则；有效边界

中图分类号：F830.9文献标识码：A文章编号：1003-7217（2013）05-0031-06

一、引言

保险公司的承保业务和投资业务一直是保险公司可持续发展的两大支柱：承保业务是拓宽资金来源的重要渠道,投资业务则是主要的盈利途径.随着保险业行内竞争的加剧,大多数保险公司的承保业务都出现了经营亏损,而是通过投资获得的巨额回报来弥补承保业务的损失（见表1）,从而使保险公司能够继续存在和发展.保费收取只是保险公司的一种筹资手段.从表1可以看出,美国等六国产险公司的承保业务在1975～1992年几乎都是亏损,完全是由于投资业的盈利才推动了公司的发展.

我国的保险公司由于严格监管,投资业务做得很不好,资金利用率还不到50%,而发达国家的保险公司在国际金融市场上管理着规模庞大的投资资产,资金利用率基本上达到了90%,高效和多样化的资金运用给发达国家的保险业带来了丰厚的收益.最近几年我国保险市场的竞争日益激烈,承保业务的利润越来越低,投资业务已经成为保险公司的主要利润增长点,成为保险公司生存和发展的希望.与发达国家保险业相比,我国保险公司在投资方面经验欠缺,投资人才缺乏,投资渠道狭窄,截至2010年12月末,保险资金固定收益类资产投资占比达80.06%.而且金融经济环境的复杂性也加剧了保险资金运用的市场风险,2008年保险资金运用收益率从2007年的12.17%骤降至1.91%（见图1）,已严重低于《保险公司偿付能力额度及监管指标规定》中保险资金运用收益率3%的下限,2009年又逐渐提高.因此,在保证保险公司具有一定收益的情况下,使保险资金投资面临最小的风险,是当前我国保险资金投资运用的关键问题.

Browne最早以保险公司为例研究了扩散市场的保险投资问题[1].Browne研究了具有固定债务的公司最大化生存策略[2].Hipp ,Plum按照最小化破产概率准则研究了保险资金的最优投资问题[3,4].Liu,Yang在Hipp ,Plum的基础上,引入无风险证券,获得以最小化破产概率为目标的保险人的最优投资模型的数值解[3,5].国内对保险资金投资研究主要集中于保险资金投资的定性分析,对保险资金投资进行定量分析的[6-14].

已有文献大部分都检测定风险证券的服从扩散过程：检测定盈余过程服从经典的C-L模型或者带漂移的布朗运动,以此来研究连续时间投资组合问题.但金融时间序列分析表明,风险证券的路径经常在连续过程中伴随着跳跃,用连续的扩散过程来描述风险证券的并不合适.莫顿用跳跃扩散过程来拟合风险证券的过程,跳跃扩散过程的引入很大程度上解释了风险证券路径的间断性.郭文旌等用跳跃扩散过程来描述风险证券的,用经典的C-L模型来描述盈余过程,定量研究了保险资金投资模型[6-14].但是近来研究发现,用经典的C-L模型来描述盈余过程存在不足,因为保险费率经常会受到一些未知因素的干扰,例如美国“911”事件导致承保条件从严,保险费率上扬.

考虑到保险公司的盈余过程、风险资产的过程均为跳跃扩散过程,同时保险公司购写止损再保险,且风险资本投资比例受限制,股票市场禁止卖空等情况,下面研究保险资金投资模型,并在均值-方差准则下运用随机最优控制方法获得最优投资模型和有效边界的闭式解,进行数值模拟.

(一)盈余过程

与一般投资机构不同,保险公司一般不允许将所有资本金用于投资,因为在投资期一旦发生较大金额索赔,保险公司就会面临破产的风险.理论上在保险公司的投资过程中,公司所能承受的最大损失即为它的总资产,但在实际操作中,为保证保险公司每年有良好的业绩、在激烈的市场竞争中立于不败之地,其每年所能承受的最大投资不应高于公司的自由准备金.设保险公司初始资本金为x,保险公司为了减少破产的风险,将初始资本金分为两部分：一部分用于投资,所占比例为a（0三、保险资金投资模型②

马克维茨（1952）的投资组合均值-方差模型是最早进行现代投资组合理论研究的模型,在此模型中马克维茨用投资组合收益的均值度量投资组合的收益,用投资组合收益的方差度量投资组合的风险.他认为投资者应选择以下两种投资组合中的一种：（1）在给定财富目标水平的条件下,使投资者面临风险最小的投资组合；（2）在给定风险水平的条件下,使投资者的财富目标水平最大的投资组合.本文的目标是保险公司在期终财富给定的条件下,使保险公司面临的风险最小.

五、数值模拟

由于国内保险资金进行年度结算,因此取T等于1,t等于0.检测设某保险公司初始资本金x等于2千万元；保险费率c等于3.5千万元/年；预计今年的索赔到来服从λ等于3的复合泊松过程,而个体索赔的期望值μy等于1千万元；影响保费的未知因素的标准差σ0等于0.5.检测设保险公司最多使用a等于0.5倍初始资本金进行投资,证券市场可供保险公司选择的证券有两种：一种为债券,无风险利率r0等于0.05；另外一种为股票,收益率和波动率分别为：r1等于0.1,σ1等于0.6.影响股票的跳跃过程服从λ1等于0.3,跳跃幅度为φ1等于0.4的复合泊松过程（检测设m等于1）,1年后保险公司的期望财富A等于4千万元.由于对保险资金投资比例有限制,且我国股市禁止卖空,最优投资模型π仅在[0,0.5x]内取值. 下面找出初始资本金x,保险费率c,索赔强度λ,索赔量的期望值μy等参数对保险公司最优投资模型和有效边界的影响,以便于保险公司在投资条件变化的情况下更好地调整投资模型.

(一)最优投资模型的动态性质

由莫顿模型π等于K1x+K2,K1>0,可知初始资本金x与投资在风险证券上的量π成正比例关系,即投资在风险证券上的量π随初始资本金x的增加（减少）而增加（减少）.但图2中的左图显示,保险资金投资随初始资本金的增大而减少投资于风险证券的量,这是由于保险公司负债性的经营特点,保险资金的使用必须以安全性为第一.在进行风险证券投资时,要想增加投资回报,只能通过承担更大的风险来实现,因此,随着初始资本金逐渐增大,面对增加风险证券投资量获取高回报,还是控制风险证券投资量,以此来降低保险公司面临的风险,数值模拟结果表明保险资金投资应选择后者.

我国保险资金投资风险证券比例受到限制且风险证券禁止卖空,所以π仅在[0,0.5x]内取值,受到限制之后的保险资金投资策略如图2中的右图.从中可以看出,根据初始资本金x的大小横轴被分为三个区间：（1）当初始资本金在0

(二)有效边界的动态性质

1.初始资本金x对有效边界的影响.图3中有效边界随初始资本金x的增大向上移动,即在承担同样风险的情况下,当保险公司初始资本金x越大,要求的预期收益越大.

2.保费率c对有效边界的影响图4中,有效边界随保费率c的增大向上移动,即在承担同样风险的情况下,当保费率c越大,要求的预期收益越大.

3.索赔强度λ对有效边界的影响图5中,有效边界随索赔强度λ的增大向下移动,即在承担同样风险的情况下,当索赔强度λ越大,要求的预期收益越小.

4.索赔量的期望值μy对有效边界的影响图6中,有效边界随着索赔量的期望值μy的增大向下移动,即在承担同样风险的情况下,当索赔量的期望值越大,要求的预期收益越小.

六、结束语

保险资金的特殊性决定了保险资金投资的复杂性,稍有不慎就会引起极大风险,保险资金投资面临着严峻的挑战.本模型能使保险人更安全有效地制定投资策略.

以上基于均值-方差准则推导出了保险资金投资模型和有效边界的闭式解,对保险资金投资策略和有效边界进行了数值模拟.根据初始资本金的大小把横轴划分为三个区间：正比例区间、反比例区间和严格控制区间.在正比例区间中投资于风险证券的量与初始资本金成正比例关系；在反比例区间中投于风险证券的量与初始资本金成反比例关系；在严格控制区间中不进行风险证券的投资.投资于风险证券的资金量随保费率的增加而减少；随索赔强度、索赔量的期望值的增加而增加.有效边界随初始资本金、保费率的增加而上升；随索赔强度、索赔量的期望值的增加而下降.不难将本文模型推广到有任意种风险资产的情况,但这种差别不是本质的,这里略去了这些讨论.

注释：

①我国《保险法》规定,必须有一部分资金要投入于无风险证券,以增加资金使用的安全性.同时,又要投资风险证券,但比例又不能过大.

②有关保险资金投资模型的现有文献主要用到三个准则：最小化破产概率准则、最大化期终财富效用准则、均值-方差准则.最小化破产概率准则只强调风险而不涉及收益,这不符合保险公司投资的本意,且最小化破产概率准则模型求解困难.最大化期终财富效用准则只强调效用,没有考虑风险,由于保险公司负债性的经营特点,保险资金的使用必须以安全性为第一.保险资金本身的金融性决定了运用保险资金的安全性和收益性,均值-方差准则在保证收益的情况下,使保险公司面临的风险最小,比较直观地体现了如何在收益和安全之间实现均衡,且最优投资模型与承保、投资过程的所有参数都有关系,所以本文保险资金投资模型以均值-方差为准则.

③证明从略,如有需要可与作者联系.