网站原创【摘 要 】： 给出以Rolle 定理为基础,用不同方法构造辅助函数来证明Lagrange 定理,强调了证明Lagrange 定理过程中辅助函数构造的思维.
【关 键 词 】： 辅助函数 试验法 分析法 待定系数法
1. 引言
Lagrange定理又称为微分中指定理,它是Rolle定理的推广,因而在证明它是,自然要把满足它的条件的函数 转换为满足 定理条件的函数 ,即由函数 构造辅助函数 .于是构造辅助函数就成了证明Lagrange定理的基本手段,从参考文献中我们可到常用的构造函数的方法有几何法、分析法、待定系数法,我们在此基础上,利用试验法,和对待定系数法稍加改进,进行函数的构造.
2. 主要内容
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首先引入Rolle定理、Lagrange定理：
引理1 （Rolle定理）若函数 满足以下条件：
⑴ 在 上面连续；⑵ 在 上面可导；⑶ .则在 至少存在一点 ,使得 成立.
引理2（Lagrange定理）若函数 满足以下条件：⑴ 上面连续；⑵ 上面可导那么在 之间至少存在一点 ,使 成立即 .
函数构造的方法
一、 试验法
实验法的思路是：设函数 满足定理2的条件,在 的基础上再加一个函数 ,我们称 为试验函数,使得和函数 满足Rolle定理的条件.
1、 取 为简单函数时,即 ,得和函数 ,由于 ,故 .不满足Rolle定理的条件,所以不成立.
2、 然后取 为一次函数,即 得和函数 显然, 在 上连续且在 内可微.微使 满足Rolle定理的最后一个条件,考虑 .不失一般性,可令 .解方程组 ,即 得：
故
为证Lagrange定理的推广―― Cauchy中值定理,继续试验法.
3. 取 ,其中函数 在闭区间上连续,在 上可微,且 .令 其中 在 上面连续,在 内可微,解方程组 即
得到：
故
这样函数 满足Rolle定理的全部条件,故存在 ,使得 因而
当 时,使得Lagrange定理的结论：
介于 之间.
当 时,使得Cauchy中值定理的结论：
介于 之间.
二、 待定系数法改进
设函数 在 上连续,在 内可微,任取 做下述构造
,
其中 为待定系数.不妨设 ,令
则由Rolle定理知存在 ,使得 ,因而 等于 ,故
更一般的方法是,考虑
其中 为常数.函数 在 上连续、在 内可微.又
令 ,得
（也可取 ）
故
或者
建立函数族.
令 则有
令 则
令 则
使用它们就可以证明几种微分中值定理.
3.结语
构造辅助函数是数学中常用的一种方法,它的工作原理就是利用已有的性质或者定理,来解决新的问题,或者在已有定理的基础上,对定理进行推广,所以构造函数的方法对解决实际中的问题有着非常重要的作用.,文中的构造函数的方法 以及夏银红提出的几种方法,尽管着眼点不同,对问题的处理各有千秋,但是找到辅助函数的 的形式却是相似的.