【摘 要 】基于经典辛普森(Simpson)法,将拟合函数换为三次函数,利用待定系数法,通过复化方式得到定区间内f(x)的积分近似计算公式.最后,使用C++编程比较了与经典Simpson法的计算精度,说明以三次函数拟合的结果更精确.
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【关 键 词 】Simpson法;待定系数法;积分计算;C++
经典的Simpson法,实质就是将自变量2n等分,针对每个区间进行二次函数的积分,最终对各子区间进行求和.为了进一步探讨一重积分的近似计算,对于逼近函数的任意积分单元进行拓展,进行以下积分计算过程.
1.三次函数积分
将二次函数推广为三次函数,将区间[a,b]进行4n等分.考虑到相邻区间的曲线连续性,将扩展五个数据点构成一个单元区间,其拥有数据点为
则方程组可写作常见的AX等于b型矩阵式,A、X、b的矩阵式容易写得,此处不赘述,这样,根据原方程组等价于:ATAX等于ATb,得到如下方程组:
以上方法完美地应用了待定系数法,这样,对于四阶以上的逼近函数,如果依旧使用这种方法,将使得求解更加困难,因此,不再增加单元函数的阶数.
2.算例验证
针对两种积分近似计算的方法,选择f(x)等于sinx/x在[0,1]内的积分进行分别检验,使用C++独立编程比较,计算结果如下表1.
由表中结果可见,使用三次函数进行逼近插值,将得到更加理想的积分结果.
3.结 论
本文根据发散思想,对Simpson法进行拓展,鉴于高阶的积分近似计算的公式复杂性,一般计算中,使用二阶的积分近似值公式就可以达到好的数值结果.
【参考文献】
[1]同济大学数学系.高等数学 [M].北京:高等教育出版社,2007.
[2] 杨志明.计算方法及其MATLAB实现[M].西安:西安电子科技大学出版社,2009.