网站原创【摘 要】不等式的证明是一元函数微分学应用非常重要的内容,在教学,考研以及数学竞赛中都是重要考核点,它的题型灵活多变,学生往往不易掌握,其实,总结起来证明方法就常见的几种,本文主要关于这些方法进行总结与探讨.
【关 键 词 】中值定理；单调性；最值；凹凸性
在数学世界里,不等关系要比相等关系更广泛的存在,不等式的研究是不等关系的一个重要内容,数学不等式不仅在数学的各个分支都有广泛应用,它还广泛应用在物理,工程,经济,科学等各领域.我们从数学学习这个角度看,从初等数学到高等数学,不等式的证明一直都占有非常重要的地位,它的题型多变,方法也很多,在初等数学中主要有比较法、综合法、分析法、反证法、换元法、数学归纳法等常用方法,在高考中,不等式的证明是一个重点也是难点.到了高等数学,不等式的证明仍是重要的研究内容,这里主要谈谈高等数学中常用的证明不等式的方法.
1.利用中值定理证明不等式
中值定理主要是指罗尔定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理,积分中值定理,应用较多的是拉格朗日中值定理和积分中值定理.利用中值定理证明不等式方法的关键是根据待证的不等式的特点构造出辅助函数,然后利用相应的中值定理证明不等式,下面主要说说怎样利用拉格朗日中值定理证明不等式.
2.利用函数单调性证明不等式
函数性态分析主要包括单调性,奇偶性,凹凸性,最值,极值,渐近线几个方面的研究,其中函数单调性是函数性态分析中最主要的内容,利用函数单调性证明不等式是证明不等式问题最有效地方法,在教学中,我们发现学生往往习惯于利用该方法证明不等式问题.在利用该方法时,简单的题目可以直接构造函数,但很多时候是需要恒等变形后再构造函数,这样会使问题变得更容易简单.
4.利用曲线凹凸性证明不等式
综上,主要从六个方面介绍了在高等数学一元微积分学中证明不等式的常用的方法,如果学生能够熟练掌握上述的这些方法,那么在证明不等式时就会得心应手,当然在此基础上也要学会灵活应用,因为一个不等式证明往往可能会涉及几个方法的结合.
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[责任编辑：曹明明]