一类Cookie―cutter―like测度的量子化维数

点赞:4926 浏览:14044 近期更新时间:2024-01-14 作者:网友分享原创网站原创

摘 要 :本文定义了齐次Cookie-Cutter-Like测度,它满足强开集条件,并研究了它的一些性质,最后证明了它与温度函数之间的关系.

关 键 词 :量子化维数,Cookie-Cutter-Like测度.

1.相关概念与性质

(1)r阶量子化维数的定义:检测设一个Rd上的Borel概率

测度μ,一个数 ,一个自然数 ,则测度μ的r阶n维量子化误差定义为:

,

其中d(x,a)表示点x到关于Rd上的一个给定范数 的集合α的距离.

定义 ,

如果 ,那么这个值就称为μ的r阶量子化维数,记做 .

(2)Cookie-cutter-like的定义:映φ射称为Cookie-cutter-like映射,如果存在互不相交的闭区间构成的有限集族

,使得:

①φ在每一个区间Ij的邻域上有定义,并且

是满射,相应的逆映射表示为 .

②φ的微分D满足Ho1der连续.即存在正常数c,0

③φ在下述意义下是有界扩张的: ,

令 , ,对 ,

,令 ,称E为Cookie-Cutter-Like集.

(3)温度函数定义:令 ,对给定的q, ,是一个关于t的连续函数.则存在一个实数β,使得 .并且β是唯一的(单调性).则β可以看成是q的一个函数:对每一个q都存在唯一的

使得 ,称 为温度函数.

2定理(主要结论)令μ是Cookie-Cutter-Like集E上的测度, 是相应的编码空间上的Holder连续函数.

是温度函数.对每一个 ,令qr:β(qr)等于rqr.则概率测度μ的量子化维数 .

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为了证明该结论,需引进下列引理和性质(文献[1]、[2])

引理2.1.令是确定的,则存在一个定数 ,使得

性质2.2.令 ,则 .

性质2.3.令Cookie-Cutter-Like集满足强开集条件,令

,令 ,则: .

3定理的证明:根据文献[3]的性质11.3我们知道:

(a) 如果 ,则 .

(b) 如果 ,则 .

根据(a)和性质3.8.我们有当 时 ,所以 .

根据(b)和性质3.6我们有 .所以 ,

即 .

注意到 和β(qr)等于rq,我们有 ,定理证毕.