六由度并联机器人位姿控制与仿真

摘 要：利用刚体空间六个自由度运动原理,以Stewart平台为例,介绍了并联机构正反解的基本原理.并针对并联机构更困难的正解问题,利用Matlab设计一个图形加数字坐标仿真程序,可以方便地求得并联机构符合实际客观条件的位置解,并直观地观察各杆件之间的空间关系.

关 键 词 ：正解；反解；坐标；位姿；仿真

引言

机器人从20世纪诞生以来,以迅速成为一门应用十分广泛的技术.机器人技术在工程中的应用日益广泛,即工业机器人.其中研究比较早,目前工程界应用比较成熟的是串联机器人.它是一种能够自动定位控制、多自由度、各大大小小的机械臂以串联的形式联接起来.这种典型的开环机构具有结构简单,成本低,控制简单,运动空间大等优点.但伴随着其结构特性的缺点则是承载能力有限、机构刚度差,各运动机构叠加误差大,运动惯性大.而在80年代以来随机计算机技术的发展,并联机器人的研究成为了新的热点.并联机器人与串联机器人正好可以形成互补,它的优点极为串联机器人的缺点,相应它的缺点则是串联机器人的优点,因此并联机器人在飞行模拟器,空间对接器、装配生产线等需要高精度,高稳定性,高速的场合应用越来越广泛.但串联机器人与并联机器人的基础理论基本一样,所以文章以六自由度并联机器人最典型的结构――Stewart平台简析六自由度机器手入手,在运动学的位置正反解.文章总结的内容中略去了有关机器人的数学基础知识和基础力学知识,检测设已经具备一定的矢量代数,矩阵论,和工学力学知识,直接进入对机器人本身的运动进行了分析.并约定,一般黑色字体变量为矢量,非黑字体变量为标量.

1.六自由度并联机器人运动学

研究操作手的几何学要区分两个问题,即在同一系统下的运动学正问题和逆问题,所谓的正问题就是给定关节变量前提下,求机器人执行终端的位姿,这个求解过程就叫正解.而逆问题反过来,设定定机器人执行终端的位置,反求各关节变量,这个求解过程叫反解.

见图1a所示并联操作手,关于这个并联机构的反解其实是容易的,这里不再叙述,有兴趣者可参阅本文列出得参考文献.现在主要对其行运动学正问题分析,但在应用到如图1的并联机器人中时,他的正解运动学却并不那么简单.

在图1a中,考虑三角形AiSiBi,i等于1～3,角标i表示第i对腿.当6个腿的长度固定,把平台M去掉,三角形AiSiBi只能绕AiBi轴旋转.这样,我们可以用一个长度为li的腿代替长度为qia和qib的一对腿,这条腿通过一个绕AiBi的转动关节和六角基座平台β相连接.结构简化后的结果如图2所示,它在运动学上的等价于图1a的原来结构.

图1 6自由度飞行器模拟器

a）基本结构 b）三角形活动平台、六角形固定平台

然后引入坐标系Fi,它的原点设在第i个腿和基座平台β连接的点口Oi处,并作如下约定：

对i等于1,2,3,

Oi是连接旋转关节的中心的集合；

Xi的方向是从Ai指向Bi

Yi的选择是由Zi垂直于6边形固定平台指向上来确定的,也就是X与Y坐标向量的矢量积方向朝上.

之后来确定从六边形的中心O到移动平台的3个顶点S1,S2 和S3的位置矢量.

我们需要确定li和Oi.参考图2和图3,其中ai和bi表示Ai,和Bi相对O为原点基座坐标的矢量.对于i等于1,2,3,有

因此ui是由Ai指向Bi的单位矢量.而且,原点Oi的位置由矢量oi确定,oi的表述如下：

（1）

进而,设si为在坐标系Fi（Oi,Xi,Yi,Zi）中Si的位置矢量,则

（2）

图2 等效简化机构

图3 一条腿与一对腿的等效 图4 坐标系F0与坐标系Fi的关系

现在,将一个坐标系空间F0定义为原点 O和X,Y,轴在六边形固定平面上,其上的 Xi和 Yi的关系如图4所示.当在坐标系F0中表达,si的形式如下

（2.3）

这里,[Ri]0是在坐标系F0中表达的从坐标系F0到坐标系Fi的旋转矩阵,给出如下

（2.4）

参考图（4）有

（2.5）

（2.6）

将式（4）～式（6）代入式（3）得到

（2.7）

这里,Oi由式（8）给出.

因为活动三角平台三个顶点之间的距离是固定的,所以位置矢量S1,S2,S3必须满足以下约束

（8a） （8b） （8c）

展开后,式（8a-c）取形式

（9a）

（9b）

（9c）

Di,Ei,Fi都是已知数据,i为1～5, 他们可以通过计算得到,经过整理后具体形式如下.

其中 ,是一个2*2反对称矩阵,这样三个方程已经

列好,并对应三个未知数?准1,?准2,?准3.方程数与未知数数量一致,在理论上是可以有解的,但这个数据运算也好,方程本身的复杂度也好,要把它迅速正确求出代数解是很困难的.如果?准1,?准2,?准3三个角符合实际情况的解（0～?仔）能够得到,则通过式（7）可得到确定三角运动平台三个顶点的矢量,从而根据三点确定一面的原理,来确定并联机器人执行端（三角活动平台）的空间位姿.接下去就是如何快速正确地解这方程.

2.仿真程序

2.1 相关仿真参数简述

按照上述原理,编写计算程序,实现坐标显示和仿真图示.如图5a所示,绿色的正六边形代表固定底盘,其大小由边长b确定.上方正三角形是活动平台,其大小由边长a确定.L1～L6表示六条机器腿的长度,同一颜色为一组.a1～a3表示活动平台三个顶点,其坐标通过计算已显示在左上角.通过计算还可以识别活动平台法线朝向,如果是朝上则显示青色（如图5a）,如果朝下则显示品红色（如图5b）,一般多数Stewart平台的活动平台正常使用情况杆多为法线方向一致朝上.而在此处是为了分析活动平台所有可能的情况而设计的仿真程序.

除此之外还可以利用图形界面的放大和旋转功能来观察各杆件之间的位置关系,从而判断其互相干涉情况.

2.2 仿真过程罗列

请看图6.整个仿真过程,分为仿真计算、仿真图示两个大部分.其中仿真计算是最根本,而且执行过程相对耗时,仿真图示是根据初始输入参数把计算结果来显示出来.

图6 仿真计算结构简图

2.3 仿真计算结构

为了使得整个仿真过程快速度,作者采用了数值迭代法.因为在理论上采用符号计算（复数域求解）是最全最精确的,而事实上在matlab中符号计算对于参数较多,相对复杂的方程组,计算相当耗时.而且返回的结果不一定齐全.

为了使仿真计算结果没有遗漏,作者在数值迭代计算中合理分布了三个方程共9个初值,使得计算结果没有遗漏,并且避免三角函数因周期而产生的重复解.

为了使仿真计算结果符合客观实际情况,作者采用了数值筛选,目的之一是去除不符合客观物理空间复数解.目的之二是去除不符合并联机构实际结构的负数解.

整个计算机构请看图7所示.中间计算解值是指图（3）中α1～α3三个角度.

图3.3仿真计算结构

2.4 仿真举例

当输入参数为a等于6,b等于9,L1等于8,L2等于8,L3等于8,L4等于8,L5等于13,L6等于15.时候仿真结果如下,见图8,结果显示,本初始条件系下,并联结构有两个位姿解,其中一个法线朝上,一个法线朝下.相应的活动平台顶点坐标也显示在左上角.

3.结束语

通过对并联机构运动学的分析,设计用来求并联机构正解位置的仿真程序,这一来不但可以快速正确地求得在不同机构参数下的位置解,而且可以通过图示清楚直观地了解各工作台面的和机器腿在三维空间中的实际姿态.