网站原创【摘 要 】本文借助计算机代数系统Mathematic软件,利用双函数法和吴文俊消元法,获得了五阶色散方程的一系列显示精确行波解,其中包括孤波解和周期解,并得到了该方程的新的精确行波解,丰富了五阶色散方程的研究.
【关 键 词 】非线性方程 五阶色散方程 精确解 行波解 双函数法
【中图分类号】G642 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2013）12-0157-02
1.引言
为了求解非线性偏微分方程,近年来人们建立了齐次平衡法、双曲函数法、三角函数法、直接代数法、双函数法、变形映射法等诸多方法,这些方法被有效地运用于求解具体的非线性发展方程,得到了很多类非线性发展方程的新解.其中,由聂小兵和汪礼[1]提出的双函数法是一种求解非线性发展方程的行波解的有效方法.这种方法利用Riccati方程确定一个函数f（ξ）,同时提出另一个函数g（ξ）以及f（ξ）和g（ξ）所满足的方程和约束条件,进一步将三角函数法和双曲函数法中的具体函数用一般函数f（ξ）和g（ξ）来替代.这种方法能获得类型较多且可具有组合项的孤波解和周期解,并能用一个统一的过程来实现.
不少科技问题都要涉及到波的运输,色散是运输过程中重要的物理现象.五阶色散方程具有如下形式：
付遵涛[2,3,4]运用Jacobi椭圆函数展开法得到了方程（1.1）的一些周期解和相应的孤子解,刘恂[5]运用Hirota双线性法得到了方程（1.1）的单孤子解.
本文利用双函数法对方程（1.1）进行求解.
2.五阶色散方程的新显式精确行波解
首先对方程（1.1）作行波变换,设：
其中λ为待定常数,表示波速.将（2.1）式代入（1.1）式得到：
对上述式子积分一次,并取积分常数为0,得到：
根据齐次平衡原则,平衡方程（1.1）中的最高阶线性导数项和最高阶非线性项后,可设方程（1.1）具有如下形式的解：
并且函数f（ξ）和g（ξ）满足：
其中,μ等于±1,h,a0,a1,a2,b1,b2为待定常数,且h为实数.
根据文献[1]可知,微分方程组（2.5）具有如下形式的解：
（1）当μ等于1时,
（2）当μ等于-1时,
借助于Mathematic软件系统,由（2.4）式和（2.5）式可得：
令常数项及fi+1,fig（i等于0,1,等5）各项的系数为零,得到关于未知数a0,a1,a2,b1,b2,h,μ的超定代数方程组如下：
统求解上述超定代数方程组,结果如下：
情形1：μ等于1,λ等于16h2r,a0等于-60hr/α,a1等于0,b1等于0,a2等于0,b2等于-60r/α；
情形3：μ等于-1,λ等于16h2r,a0等于-60hr/α,a1等于0,b1等于0,a2等于0,b2等于-60r/α；
注：对于诸ai,bi均等于0的平凡解情形不予讨论.
由情形1～4及（2.1）式、（2.4）式、（2.6）～（2.7）式,可知五阶色散方程存在下述精确行波解：
3.结束语
本文利用双函数法研究了五阶色散方程的求解问题,得到了该方程的多个显式精确行波解,同以往的文献进行对比,发现（4）、（5）、（6）、（8）几组解在以前的资料中没出现过,是通过双函数法算出的五阶色散方程的新的显式精确行波解,其中包括孤立波解和周期波解.得到的新解有助于五阶色散方程的深入研究,对进一步认识五阶色散方程的物理意义有一定的参考价值.从上述研究过程可见,双函数法求解非线性发展方程具有简洁明快,易于操作的特点.这种方法可以部分在计算机代数系统Mathematic软件上实现,从而在很大程度上降低了人工计算的繁杂性,可操作性较强.另外,双函数法的推广性和移植性较好,它不仅可以用于求解其他的非线性发展方程,而且经过推广,可以用于求解部分偏微分方程组[6].