数学教学中如何培养学生的对比、归纳、总结能力

摘 要：对比、归纳、总结思想方法在数学学习中具有十分重要的作用,本文着重介绍在数学教学中如何培养学生的这三种基本的数学素养.

关 键 词：对比；归纳；总结；数学素养

中图分类号：G642文献标识码：A

文章编号：1009-0118（2012）08-0013-03

美国著名心理学家布鲁纳曾指出：“学习是一种能力的建构过程,应着重培养学生的学习能力,使整个教学过程中学生成为一个积极的探索者.”如何使数学教学科学化,最优化,使其既能达到提高学生基本素养的要求,又能让学生产生一种极大的内趋力去主动探索数学的奥秘,体验解决数学问题过程中创造和挖掘不同的思路,而让学生感受成功和喜悦的体验是作为教学组织者的重要课题.所以教师在教学中应合理巧妙地创设教学情境,把对比,归纳,总结这三种思想方法融入到整个教学过程中,引导学生自主学习,来亲近数学,体验数学,“再创造”数学和应用数学,真正成为数学学习的主人.

要做到这一点,看似容易但真正操作起来却较难,在数学教学中,引导学生在对比,归纳,总结中发现问题是很重要的,然后再是不断思考怎样解决问题,有疑才会有问,有问才有所思,有思才能促进学习能力的升华.通过对比,归纳,总结去促进数学思维能力的提高.这三种基本思想方法不仅具有一般学科思维能力的特征,同时还具有数学学科的特征,根据它的特征我们在教学活动中如何主动,自觉地着重培养学生的对比逻辑思维和归纳总结数学思维能力?下面结合例子作简要的叙述.

一、对比

对比是比较确定对象之间的相同点与相异点的一种逻辑方法.它可以在相同与相异的对象之间进行,也可以在同类对象的不同方面进行.在数学学习中,它可以帮助学生找出概念,数学命题之间的区别与联系,澄清一些易于混淆的概念,从而对数学的概念,原理及数学解题方法的深入理解.同时,对比既是形成概念的方法,也是发现规律的方法,正如莱布尼兹所言：“比较同一个量的两种不同表达式时,可以求得某个未知量；比较同一个结果的两种不同推导方法时,可以发现一个新的思路.”在教学中,引导学生对于相同点的比较要注意发现它们相异之处；对于相异点的比较要注意发现它们相同之处.通过对比,可以培养学生的数学辨证思维能力,下面我们结合实际例子说明对比在学习概念,解题中的重要性.

例1：我们在研究组合数学Ckn的数值时,有以下数值表

仔细观察这个数值表,对比大家所熟悉的杨辉三角形式：

1

11

121

1331

14641

15101051

等等等等

不难发现组合数的数值表与杨辉三角的形式几乎完全一样,数值大小是完全相等.通过对比我们可以积累丰富的知识,形成较为完备的数学知识理论体系,其实数学中许多知识都是相互联系的,通过对比则会思路清晰许多,请看下面的例子：

例2：在组合数学中的组合计数有个牛顿公式

(1）En等于(△+I)n等于∑nj等于0(nj)△j(n等于0,1,2,3等)

(2）△n等于(E-I)n等于∑nj等于0(-1)n-j(nj)Ej(n等于0,1,2,3等)

仔细对比一下与我们高中所学的二项式定理从形式上讲,是完全一致的,二项式定理的形式为：

(I）(a+b)n等于∑nk等于0(nk)akbn－k(n为正整数a,b为任意实数)

(II）(a－b)n等于∑nk等于0(nk)(－1)n－kakbn－k(n为正整数a,b为任意实数)

而在牛顿公式中I为恒等算子,于是我们写出与二项式相同的形式有：

(1）En等于(△+I)n等于∑nj等于0(nj)△jIn-jI为恒等算子等于∑nj等于0(nj)△j(n等于0,1,2,3等)

(2)△n等于(E-I)n等于∑（-1）n-j（nj）EjIn-jI为恒等算子等于∑nj等于0（-1）n-j(nj)Ej(n等于0,1,2等)

通过这样的对比将两个公式完全联系在了一起,记忆起来就十分简单.类似的例子在数学在中有很多,应用对比的方法有助于提高我们的学习效率.

二、归纳

所谓归纳,是指通过分析部分特殊的事例概括得出普通的结论,它是一种由特殊到一般的推理方法,不过需注意的是,并非所有推出的结果都为真,除了完全归纳可以用作证明外,归纳法只能作为一种发现“似真”结果的方法,也正因为它可帮助我们发现新的结果,所以它在数学发现中具有十分重要的作用.许多的数学家都是靠归纳法去发现新定理的.

归纳是以观察为基础,以发现为特色,无论是建立在类比的基础上还是建立在抽象分析上的归纳都离不开观察.这是归纳的主要特征,所以我们在教学中,要善于运用各种对象之间的联系进行比较观察,引导学生主动分析各对象的构成和已有的归纳结果,根据前人归纳结论中,领悟归纳思想,从而提高归纳能力.

例3：哥德巴赫猜想.1742年德国数学家哥德巴赫(C.Goldbach1690～1764）根据大奇数的观察：21等于11+7+3,

39等于31+5+3,

77等于53+17+7,

461等于449+7+5等于257+199+5,

等等

归纳出了一个规律：所有大于5的奇数都可以分解为三个质数之和,他把这一猜想告诉了著名数学家欧拉,欧拉肯定了他的猜想,并以一个更简单的命题提出：4以后的每个偶数都可以分解为两个质数之和,其实欧拉也是从观察入手的,因为：

6等于3+3,8等于5+3,10等于7+3,

12等于7+5,14等于11+3,16等于13+3,

18等于11+7,20等于13+7,24等于17+7,

36等于31+5,70等于53+17

等等

由于欧拉提出的命题可以推出哥德巴赫提出的命题,于是后人便把这两个命题合成一个,并称之为“哥德巴赫猜想”,由于这一猜想使用的是不完全归纳法,因而不能成为命题的证明.至今,两个世纪都过去了,这个难题象一座未征服的高峰,吸引着许多数学家为它的证明而奋斗.我国数学家陈景润1966年证明了：“每一个充分大的偶数都能表示为一个质数及一个不超过两个质数的积的和”(简称2+1),1973年发表了全部详细的论证,把证明猜想逼近了一大步,但仍未能得出猜想的证明,由此可以看出归纳法的第二个特征：归纳法结果“似真”,尚需严格证明.由于归纳法结果“似真”,难免出现检测的结论,就连一些大数学家也曾出现过归纳错误的情况.