大学数学实验的教学

摘 要 本文探讨了开展大学数学实验的必要性和意义,介绍了我校开展大学数学实验的具体做法及教学效果.

关 键 词 数学实验 大学数学教学改革

一、开展大学数学实验的必要性和意义

数学在现代科学技术和社会发展中发挥着越来越大的作用,近年来科技、生产的发展及计算机应用的普及,使得数学与人的各种实践活动更加贴近,形成了一种数学“无处不在,无所不用”的普及化趋势.数学家徐利治先生指出当今人类社会与时代的三大特征：（1）信息社会（2）数学科学应用的广泛性与深入性（3）国家富强更加取决于数学科学的发展水平.特别是计算机技术的飞速发展和广泛应用,数学与计算机相结合,更是导致了数学越来越广泛的应用.在这样的形势下,学校的数学教育需要培养能够应用数学知识解决实际问题的创造性人才.而我们传统的数学教育主要注重理论知识教育,主要是讲解数学的概念、定理、公式和法则以及解题,学生则只是记忆这些知识和解题,学习过程只是被动地学习数学而很少主动地应用数学,学生主体作用得不到发挥.传统的数学教育不能适应时怎么发表展的需要,因而需要我们变革传统的数学教学和学习方式,我们的数学教学要联系实际应用,要与计算机结合起来,学生不只靠听课和看书接受数学知识,而且要亲自动手去“学数学”和“用数学”.数学实验通俗地讲就是对数学进行“折腾”,就是让学生自己动手,借助于计算机,自主探索,综合运用所学的知识解决实际问题.这样的教学能真正培养学生的思维能力、动手能力、创新能力,充分发挥学生在教学中的主体作用.因而,数学实验是对传统大学数学教学进行改革的重大举措.

建构主义认为,学习是学习者在原有经验的认知结构的基础上主动建构内部心理表征的过程,即学习过程是通过学生与外部环境相互作用,实现同化和顺应,来逐步建构有关外部世界的内部图式,从而使自身的认识结构得以转换、发展和完善.再具体地说,建构主义认为学生有不同于成人的数学世界,数学知识不能从一个人身上直接迁移到另一个人身上,一个人的数学知识必须通过个人对经验的操作、交流,以及反省来主动建构,而教师的作用是给学生建立良好的数学环境,教师从知识的传授者转变为知识的“助产士”.建构主义重视学习活动中学生的主体性,重视学生面对具体情境进行意义建构,重视学习活动中师生之间的协作、会话和反思,从而主张建立一个宽松的教学环境等,这些观点为数学实验教学的开展提供了一定的理论依据.数学实验给予学生主动建构知识的机会,学生的主体作用得到充分发挥,数学实验为学生的学习提供了良好的教学环境.因此,从建构主义学习观的角度来看,数学实验对学生的数学学习具有重要意义.

二、开展大学数学实验的具体做法

(一)将数学实验与大学数学教学以相互交替的形式进行

数学实验是现行教学体系上的一个“补丁”,以弥补数学教学与现代计算机技术结合上的不足,所以数学实验基本保持原有大学数学的体系结构,只是在相关章节根据内容增加以下基础实验和综合实验,以作为大学数学的实践性教学环节.

1.介绍Matlab软件基础知识,Matlab软件包的基本操作.

2.一元函数微分学实验,包括一元函数的图形、极限与连续、导数的实验、泰勒公式与函数逼近、方程近似解的求法实验.例如“泰勒多项式对函数的逼近情况”的数学实验,要求学生在计算机上求出的直到19阶的泰勒多项式,并作出一系列图形进行观察与比较,注意观察泰勒多项式图形与函数图形的重合与分离情况.从图中可看到泰勒公式随着展开阶的提高,展开式越来越接近原来函数,但对于任意一个确定次数的多项式,它只在展开点邻近的邻域内才有较好的近似程度.另外,通过图形演示进一步学习泰勒级数的概念.

3.定积分的近似计算、一元函数积分学与微分方程实验.微分方程实验还安排人口预测的综合实验.在人口预测实验中,教师提出人口问题,适当介绍问题背景,引导学生采用不同的方法建立不同的人口模型.例如,检测设人口的增长率是常数,或者说,单位时间内人口的增长量与当时的人口成正比,学生可建立指数增长模型（马尔萨斯人口模型）；然后要求学生用这个模型计算一些地区的人口并与实际人口进行比较,可以发现用该模型算出来的人口与19世纪以前欧洲一些地区的人口统计数据很好地吻合.一些人口增长率长期稳定不变的国家和地区用这个模型进行预报,结果也令人满意.但是用19世纪以后许多国家的人口统计资料与指数增长模型比较时,却发现了相当大的差异.为了使人口预报特别是长期预报更好地符合实际情况,必须修改指数增长模型关于人口增长率是常数这个基本检测设,引导学生建立人口阻滞增长模型（Logistic模型）,然后要求学生用这个模型计算一些地区的人口并与实际人口进行观察比较.例如人口随机性模型,考虑如果有时间还可以引导学生建立更复杂的人口模型年龄分布的模型等.

(二)在大学本科二年级下学期开设数学建模与数学实验的选修课

分专题讲解和让学自己动手解决一些数学建模问题,讲课和上机实验各占一半.具体开设以下专题：线性规划、整数线性规划、优化问题、微分方程、图论与组合问题、网络流问题、统计与分析问题、插值与拟合等.

(三)利用暑期开展数学建模与数学实验的综合培训

我校一直非常重视数学建模竞赛活动,数学建模指导小组教师不惜放弃暑检测休息时间培训参赛队员.培训大约20天,我们的具体做法是在培训的每一天先由教师讲两个小时,主要讲某一类问题的建模思想、方法,以及如何用相应的数学软件来求解,然后教师提出相应的问题,以学生的动手操作为主,教师的辅导为辅,让学生自己动手去做,自主探索,三人组成一个小组,相互交流、相互讨论,共同建立数学模型,尝试通过计算机自己求解,最后教师讲评.

三、教学效果

我们的数学实验取得了良好的教学效果,正如有些同学所说的,数学实验使我们的收获最大,它让我们体会到了数学的美妙,它激发了我们学数学的极大兴趣,我们学会了用数学自己亲自动手解决实际问题,学会了思考,学会了探索,学会了研究,体验到了成功的快乐.