补偿法在“大学物理”中的应用

摘 要 ：补偿法是分析和解决“大学物理”问题的一种重要方法.通过分析详解具体例题,说明采用补偿法解决物理问题思路更清晰,解题过程更加简化；同时,补偿法是体现“大学物理”素质教育理念的一种方法,教学中采用这种方法可以增强教学效果并且培养学生分析解决问题的能力.

关 键 词 ：补偿法；非对称性；大学物理

作者简介：高禄（1982-）,女,辽宁沈阳人,中国地质大学（北京）理学院,讲师；邢杰（1973-）,女,内蒙古包头人,中国地质大学（北京）理学院,副教授.（北京100083）

中图分类号：G642.41文献标识码：A文章编号：1007-0079（2012）28-0088-02

在“大学物理”教学过程中,老师针对具有对称性的物理模型进行分析求解讲解得多,因此学生也习惯于求解具有对称性分布的物理问题.但是当遇到具有非对称性分布的物理问题时,学生往往会感到束手无策.而补偿法可以很好地化简由于非对称性分布给问题带来的复杂性,采用此方法解题思路清晰,过程简单.本文将通过典型例题的分析详解,说明应用补偿法求解力学和电磁学中的非对称性问题,可以避免复杂的积分运算,解题过程简单快捷.

一、补偿法在力学中的应用

例1：如图1所示的圆盘,O点和P点分别是大圆盘和挖掉的小圆盘的圆心,均在x轴上,相距为d.大圆盘的半径为R,挖掉的小圆盘的半径为r.求大圆盘挖掉一个小圆盘后质心的位置.

分析：由对称性分析可知,挖掉一个小圆盘后,剩下部分的质心仍然在x轴上.但是在x轴上的具体位置则需要计算确定.若采用一般的微积分算法,较为复杂.可以采用补偿法简便地算出质心位置.在完整的大圆盘上补偿一个质量为负的,大小和位置与挖掉的圆盘一样的小圆盘,即等效于被挖掉一个小圆盘的大圆盘.

解：完整大圆盘质心的位置在O点,即x等于0；补偿的质量为负的小圆盘的质心在P点,即x等于d.由质心位置的定义式,可求得挖掉一个小圆盘的大圆盘剩下部分的质心位置.设圆盘的面密度为,则质心位置为.质心位于x轴的负方向,距圆心的距离为.

例2：从一个半径为R的均匀薄板上挖去一个半径为r的圆板,所形成的圆洞中心在距原薄板中心R/2处（如图2所示）,所剩薄板的质量为m.求此时薄板对于通过原中心而与板面垂直的轴的转动惯量.

分析：这个问题如果按照一般的解题思路,需要写出相对于过O点垂直于板面的定轴的转动惯量微元,再进行积分,较为复杂.而应用补偿法,可以使问题大为简化.由于转动惯量具有可叠加性,所以已挖洞的圆板的转动惯量J等效于没挖洞的圆板的转动惯量J1再补偿一个质量为负,位置与挖掉的半径为r的小圆板一致的圆盘,其转动惯量为J2.

解：设板的密度为ρ,厚度为d,则相对于通过O垂直于盘面的定轴而言,

二、补偿法在电磁学中的应用

例1：一均匀带点球体,半径为R,体电荷密度为ρ,今在球内挖去一个半径为r（r

分析：这个问题同样也是一个具有非对称性分布的问题,如果采用微积分的方法,也是难以计算,而且容易出错的,采用补偿法可以使问题大为简化.有空腔的带电球体的电场可以等效于带正电的完整球体和一个体电荷密度为-ρ的充满空腔的球体产生的电场叠加之和.

解：在空腔内P点,带正电球体的电场为,带负电球体的电场为,合场强为.为由原带电球球心O+指向空腔中心O-的矢量线段.综上,可以证明空腔内的电场是均匀的,而且方向与两球心连线方向平行.

例2：有一长圆柱形导体,截面半径为R.今在导体内挖去一个与轴平行的圆柱体,形成一个截面半径为r的圆柱形空洞,其截面图如图4所示.在有洞的导体柱内有电流沿柱轴的方向流通,求洞内各处的磁场分布.设柱内电流均匀分布,电流密度为j,从柱轴到空洞轴之间的距离为d.

分析：依据补偿法,有洞导体柱的磁场分布等于无洞导体柱通有电流密度j加上空洞中通有电流密度为j′（j′等于- j）的磁场分布.

导体柱通有电流密度j在洞内P点产生的磁场为,洞内通有电流j′在P点产生的磁场为,则洞内P点的磁场为.由此可知,洞内磁场为均匀磁场,方向与洞的轴线垂直.

三、结语

补偿法在“大学物理”课程教学过程中多次出现,利用这种方法可以巧妙地解决力学、电磁学中的非对称性问题,简化解题过程.在教学中运用补偿法讲解典型例题可以使学生对物理概念的理解更加深刻,同时也能够提高其分析解决问题的能力,增强物理思维的灵活性,同时提升他们的科学素养.因此,应该在教学中重视补偿法的运用,让学生通过学习这个方法获得更大的收获.