数学思想方法在大学数学教学中的应用探析

【摘 要】 在大学数学教学中应用数学思想方法是通识教育和社会实践的要求,具体应用措施：一是在教学过程中适时渗透,二是通过每章小结提炼概括,三是通过习题有计划进行数学思想方法的教学,四是通过解决问题予以深化.

【关 键 词 】 大学教学；数学思想方法；教学应用

一、什么是数学思想方法

数学思想是对数学知识和方法的本质的认识,是数学的灵魂,它蕴含于运用数学方法分析、处理和解决数学问题的过程之中.数学方法是提出、分析、处理和解决数学问题的概括性策略,是数学思想具体化反映,是数学的根本.数学思想对数学方法起着指导作用,数学方法比数学思想具有更大的灵活性,可促进数学思想的发展.通常将数学思想和数学方法看成一个整体——数学思想方法.

二、数学思想方法教学在大学数学教学中的必要性

1.通识教育的要求

著名数学教育家波利亚（G.Polya）曾统计过,学生毕业后,研究数学和从事数学教育的人占1%,使用数学的人占29%,基本不用或很少用数学的人占70% .这些数据说明数学教学应当是面向99%的学生怎么写作的,而不是1%.因此,在大学阶段学习形式化的数学不是大多数的学生的目的,而通过学习数学知识掌握分析问题、处理问题的手段才是学习的目的.而要掌握分析问题、处理问题的手段需要通过形式化的数学知识的学习来培养、训练学生的归纳、概括、推理等能力,而归纳、概括、推理等能力的培养正是数学思想方法教学所要达到的目的.因此,数学思想方法的教学是适应各层面、符合现阶段通识教育的教学.

2.大学阶段的学习特点的要求

大学阶段的学习主要靠学生自学,特别是大学数学内容多,课时少,学生基础差,因此大学数学教学要做到少而精.少就是要突出重点,精就是要讲授数学的精华——数学思想方法.学生通过对数学思想方法的掌握学会自学、会学,即通过掌握分析、综合、归纳、演绎、概括、抽象、类比等思维方法,提高思维能力,达到会学的目的,使学生收益终生.

3.社会实践的要求

在大学阶段非数学专业的数学课一般包括微积分、线性代数、概率论与数理统计三门,在三门课的学习过程中,课堂上所学的数学知识是具体的、是形式上的,学生毕业走出大学校门后,很快就忘了,但是在学习这些具体的、形式上的数学知识过程中所用到的概括、归纳、比较、联想等数学思想方法却是学习专业课的工具,也是培养逻辑思维能力和“创新型”人才、“开拓型”人才及“应用型”人才的重要途径.而所谓的人才就是能成功地转化、解决实际问题的人,在转化、解决问题的过程中所需要的正是综合运用各种数学思想方法的能力.因此迫切要求我们要加强数学思想方法的教学,以满足当今社会的需求,实现现阶段大学教育的培养目标.

三、数学思想方法教学应用措施

1.适时渗透数学思想方法

数学学习概念多、定理多、性质多、公式多,学生在学习过程中反映记这些内容太难了,而且容易混淆,怎么也记不住,有些经过简单推导的结论反而容易记,也记得清.因此,在教学中不能简单地给定义,也不要过早地下结论,要激活推理适时渗透,注重引导学生积极参与这些结论的探索、发现、推导的过程,唤起对旧知识的回忆,搜索到新知识的源头,通过对事物的发生、发展过程的教学掌握活的数学概念,弄清每个结论的因果关系,不断在数学思想方法指导下推出一个个新的思维结果.

例如《线性代数》这一门课中线性方程组的解的判定定理的学习,常规的教学过程就是给出定理——证明定理——例题讲解.如果按这个过程去讲解,那么老师讲得很费劲,学生听得也很茫然,繁琐的符号及过程会让一部分同学失去兴趣.但是反过来,我们先不给出结论,先针对解的不同情况（无解、唯一解、无穷多解）讲三个简单的方程组的求解的例题,这部分内容是学生熟悉的,容易接受,再让学生对这三个例题进行比较,找出它们之间的区别,通过这些区别的发现过程,让学生自己得出结论,在此基础上再通过严密的理论推导得出严格的理论结果.这样学生既参与到教学实践过程中,又容易接受这些新的知识,同时也培养了学生比较、判断、分析问题的能力.

2.通过每章小结提炼概括数学思想方法

每一章学习结束之后的小结是揭示各知识点之间内在联系的有效途径.同一内容可以表现不同的数学思想方法,而同一数学思想方法又可用在不同的知识点上,因此小结应该从纵横两方面总结整理出数学思想方法.

例如在《概率论与数理统计》这门课第一章随机事件及其概率结束之后,可以小结这一章的数学思想方法：表示问题、分解问题、转化问题、解决问题.概率论的学习不同于高等数学的学习,概率论的概念只是规定了一些基本原则,并没有固定的算法,需要具体问题具体分析.因此第一步需要把所描述的问题表示出来,既表示问题；之后就需要根据试验与事件的特点,借助事件之间的关系及运算选择合适的等价表达形式将复杂问题简单化,既分解问题、转化问题；最后再计算概率,既解决问题.这一过程是概率学习的精华所在,也是学习概率的重中之重,同时也是学习随机变量的基础.然后通过一些如抛掷硬币、随机摸球等典型例题进一步说明这类数学思想方法的应用过程.

3.通过习题有计划进行数学思想方法的教学

数学的学习脱离不了例题、习题的训练,因此习题是数学学习的重要内容之一.通过有计划地安排一些典型例题、习题有计划地进行数学思想方法的教学,可以起到举一反三、事半功倍的效果.

例：将甲、乙、丙三人随机分配到三间房中,求每个房间恰有一人的概率.

随机分房时,每个房间可容纳的人数是不受限制的,因此,甲有三个房间可去,乙和丙也有三个房间可去,且这三人进任何一间房都是等可能的,要使每间房只有一人,只有3×2×1＝3!种方法,此即为样本点的个数；样本空间的个数可由乘法原理得出：3个人随机分到3间房共有33种不同的分法,由古典概型的计算公式可得所求概率为3！33＝29.

这是一个典型的随机事件概率问题,许多随机事件的求解过程都可以运用转化的方法转为这类例题进行求解.比如生日问题（相当于房间有365个）.还可以把这个例题从特殊推广到一般的情形：把n个人随机分到n间房,每个房间恰有一人的概率为n！nn.对应的有有放回摸球问题（每一个球相当于一个房间）、n封信随机投入N个邮筒中（邮筒相当于房间）等等.只要掌握了转化这一思想,那么掌握一个例题就相当于掌握了一类问题.

4.通过解决问题深化数学思想方法的教学

任何一门学科的发展都离不开社会的需要,数学学科也一样.现在的社会和就业需求都要求学生进入社会后要具备解决问题的能力,因此解决问题的能力的培养是数学教育工作者的教育目标,而解决问题的过程实质就是通过对问题的分析不断转化问题、再用数学思想方法解决问题的一个反复运用的过程.这一过程可以通过解决问题构造数学模型、提供数学想象,以实际操作,诱发创造动机,把数学嵌入活的解决问题的思维活动之中,不断地在学数学、用数学的过程中引导学生学习新的知识、掌握新的方法、促进思维能力的发展.

四、结语

数学思想方法是数学思维的内核,它比具体的数学知识具有更强的抽象性和概括力,它体现为一种意识或观念,不具有固定的模式；它也不是一朝一夕可以完成的,而是经过日积月累、长期渗透形成的；它的表现也是不明显的,是潜移默化的.学生对这种方法的掌握主要靠教师有意识、有目的地对学生进行培养和训练,使学生逐步学会分析、综合、归纳、演绎、概括、抽象、类比等重要的思维方法,使其成为由知识向能力转化的纽带,达到培养学生能力的目的.

【参考文献】

［1］ 运怀立.概率论的思想与方法［M］. 北京：中国人民大学出版社,2008.

［2］ 李杰红.浅谈数学思想方法教学的重要性［J］.高教视野,2010(11)5.