数学题变式的常用方法

摘 要：本文阐述了什么是数学题的变式及数学题的变式对发展学生思维,提高解题能力的作用,并对数学题变式的常用方法进行了初步探讨.

关 键 词 ：变式 举一反三 命题 解题能力

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1673-9795（2013）06（c）-0088-02

数学题是无穷无尽的,搞“题海战术”不仅加重学生的学习负担,而且削弱了基础知识的学习,也影响了学生思维的发展.数学教学要在发展学生思维能力上下功夫,而一题多解与一题的变式应用这两种形式对于培养学生分析问题和解决问题的能力是有效的.本文想对数学题变式的常用方法做初步探讨.

题的变式是指对于一道数学题,适当变换条件或结论,变换形式或内容,得到一些新的数学题.

把一道数学题变成新的数学题,所用知识,解题方法都可能引起变化.通过比较鉴别,会使学生进一步开阔思路,学的灵活；同时有利于巩固基础知识和基本技能的训练,起举一反三的作用.

一题的变式在新课、复习课和习题课都可应用.

1.条件或结论的等价替换

在数学命题中,有些命题是等价命题,他们之间可以互相推导,如果将命题的条件（或条件）用等价的条件（或结论）替换,便可得出新命题.

例1：方程（a-b）c2+（c-a）c+（b-c）等于0有相等二实根,求证：a、b、c成等差数列.

这个命题可改写成“若（c-a）2-4（a-b）（b-c）等于0,求证：a、b、c成等差数列.”

实际上原题中方程有相等二实根与新题的（c-a）2-4（a-b）（b-c）等于0是等价的.

原题也可这样改变：“设A、B、C为三角形三个内角,且（sinA-sinB）c2+（sinC-sinA）c+（sinB-sinC）等于0有相等二实根,求证：sinA、sinB、sinC成等差数列.”

有正弦定理知,在△ABC中,（sinA-sinB）c2+（sinC-sinA）c+（sinB-sinC）等于0与（a-b）c2+（c-a）c+（b-c）等于0是等价的,sinA、sinB、sinC成等差数列与a、b、c成等差数列是等价的.

例2：设tgα,tgβ是方程c2+ac+a+1等于0的二根,求证（α+β）等于1

这个题条件不变,结论可改成“求证sin（α+β）等于cos（α+β）”.

或改成“求证α+β等于nπ+,（n为整数）.”

2.利用数学中的互逆关系

数学存在着对立统一的辩证关系.如加与减、乘与除、乘方与开方、指数与对数、反三角函数与三角函数、和差化积与积化和差等等.这就启发我们可以根据数学中的互逆关系,进行变式.

例3：设α,β为锐角,且tgα等于,tgβ等于,求证：α+β等于.可以改写成

“求证：arctg+arctg等于”.

在几何命题中,有些原命题、逆命题都成立,这样可以把条件和结论部分交换或全部交换,得出新命题.

例4：由圆外一点O,向圆C作切线OA、OB,A、B是切点,在劣弧AB上任取一点P,作PD⊥OA于D,PE⊥AB于E,PF⊥OB于F,则PE2等于PDPF.（见图1）

如将结论与条件部分交换,可改写成“设等腰△OAB的顶角为2θ,高为h,在△OAB内有一动点P,到三边OA、OB、AB的距离分别为|PD|、|PF|、|PE|,并且满足|PE|2等于|PD||PF|,求P点的轨迹.（见图2）

例5：在△ABC中,∠A的平分线交BC于D,则.如果条件与结论全部交换,可改成“在△ABC中,D为BC上一点,且,则AD平分∠A”.

3.变换问题的表现形式和内容

对于同样的数量关系和逻辑关系,常可以表现为各种不同的形式.我们掌握了这种关系之后,可以编出与这种关系相同而表现形式不同的习题.

例6：分解因式：（c+1）（c+3）（c+5）（c+7）+15.

这个题可改成解方程：（c+1）（c+3）（c+5）（c+7）+15等于0.或改成解不等式：（c+1）（c+3）（c+5）（c+7）+15>0,或改成“求函数y等于lg〔（（c+1）（c+3）（c+5）（c+7）+15〕的定义域”等等.

例7：已知CD是直角△ACB斜边AB的高,DE⊥AC于E,DF⊥BC于F,求证：（见图3）

根据条件和图形,可改成“设CEDF是一个已知圆的内接矩形,过D作该圆的切线与CE的延长线相交于A,与CF延长线相交于B,求证：.”（见图4）

例8：若a、b、c为正数,

且a+b+c等于1,求证：a2+b2+c2≥

利用代数和几何的联系,可以改成“长方体三度之和为1,求证此长方体的对角线的长不小于.”这样一变,使学生进一步学到了沟通不同学科知识的方法,有利于培养学生综合运用知识的解题能力.

以上几列原题和新题之间虽形式上不一样,但在数量关系和解题方法上基本没有变化.

4.题目的发展和深化

（1）利用特殊和一般的关系,使题目内容发展和深化.

例9：化简：

这个题化简的结果是x2,如果将x换成sina,cosa,seca,csca等之一,就使一般问题特殊化了,从而使题目的内容发展了.

例10：在△ABC中,求证tgA+tgB+tgC等于 tgAtgBtgC

实际上,不一定在△ABC中,只要A+B+C等于nπ,nZ上式就成立.

特别是当n等于0时得到

；

通过对原题有时增加条件,有时改变条件,由特殊到一般,由一般到特殊地进行变式,起到了归类串线、多题一解的作用,可以使学生掌握解题规律.

（2）条件不变,使结论发展和深化.

例11：已知方程组（A、B、C、D均为正数）

（1）证明c是一个二次方程的根；

（2）证明这两个方程有相异二实根；

（3）试指出此二次方程的绝对值大的根的符号.

显然,从方程组中消去y,便可得到关于x的方程.在此基础上,要证明（2）还得用到判别式,要回答（3）需比较两根的大小.条件虽未变,通过连串三问,使结论发展、深化了,使问题拔了高,扩大了知识领域.

从本文的例题中,可以出有些新题是怎样编拟出来的,同时也启发我们在教学中重视变式的应用.