经济数量中的常用数学方法

一、几个常用函数

1.需求函数.在商品市场中,商品的是影响消费者对该商品的需求的主要因素,即需求量可看成是的函数：Q＝f(p),Q表示需求量,p表示,称为需求函数.需求函数都是递减函数,即商品的下降,需求量增加,反之商品上涨,需求量减少.

2.总收益函数.某商品的为p,相应的需求量为Q,则出售该商品的总收益为Qp,又需求函数,其反函数,商品的总收益可看成是其需求量Q(或p)的函数:或称为总收益函数.

3.供给函数.在考察的时间范围内,生产要素的成本以及技术水平等因素都没有发生变化,这时可把某种商品的供给量Q看成是其p的函数:称为供给函数.

二、边际与弹性

1.边际收益.设某种商品的总收益可以为需求量Q的函数,即,平均收益RA就是单位需求量的收益,于是有,可见,需求函数也可以称为平均收益函数,就是说P可以看成是从需求量Q获得的平均收益.

边际收益就是总收益对Q的导数,即

2.边际成本.成本是指生产某总产品时消耗生产要素所支付的所有费用,而总成本则是生产一定量产品所需求成本总额,它是由固定成本（即在一定限度内不随产量的变动而变化的费用）和可变成本（即随产量变动而变化的费用）两部分组成.

设某种产品的产量为Q,于是我们可以把总成本看成是产量Q的产量的函数,即,最简单的成本函数有这样几种形式：

(1),其中c为固定成本,pn(Q)为可变成本,它是Q的一个n次多项式.特别当n等于1时,即这时总成本为线形函数,其中a表示增加单位产量时所增加的单位成本；

(2)

(3)这里的a,b,c,d均为正常数.

由平均定义可知,平均成本KA,就是指单位产品的成本,即

根据边际的定义,边际成本KM可以用总成本KT对Q的导数来表示,即

例如,当总成本为时,平均成本为而边际成本为.

由上面的讨论可以看出,边际实际上刻画了一个经济的变量y对另一个经济变量x的绝对变化率.在实际过程中讨论对x变动的敏感程度时,往往离不开计量单位（即量纲）,这样就很难比较使用不同的量纲时y对x的敏感程度.因此,我们必须采用不依赖与任何单位的计量法,这就是弹性.在经济分析中,弹性表示一个经济y对另一个经济变量x微小的百分比变动所作的反应.严格地讲,就是当自变量x的变动趋向零时,x的微小变化的相对变化率去除由它引起的因变量y的相对变化率所得到的比值的极限.在数学上,函数的弹性可以用导数与平均函数的比值来表示,即,可见,在经济弹性又可以理解为边际函数与平均函数之比.

设需求函数为,则需求量Q对于p的弹性为

例如,当时,有而当时,有

这里,需求量Q对于p的弹性为-bp,说明了增加1%时,需求量减少bp%.

对于一般的可导函数,则表示当自变量x变化1%时,函数f(x)变化的百分数.例如,当f(x)等于c时,由f’(x)等于c,得到等于0即常数函数的弹性为零.

三、总量函数

在经济分析中,与边际概念相应的是总量函数的概念,例如,边际成本与总成本,边际收益与总收益,边际产出与总产出等.

设边际函数（即总量函数的变化）为f(x),求在区间[a,b]上的总量F.这个问题我们可以用一元积分学中的微分法来解决；

分割区间[a,b],设其中任一小区间[x,x+dx]上的总量为,由于的线性主要部分

故有这就是说,总量边际函数从a到b的定积分.

例如,某种商品的边际收益为RM(Q),则销售N个单位时的总收益RT可以表示为

又如,某种商品的边际成本为KM(Q),则从产量a到b的总成本KT可以表示为

四、应用举例

例1生产某种产品的总成本函数KT(单位:元)是其产量Q（单位：t）的函数.试讨论

(1)当产量Q等于100t时,总成本,平均成本和边际成本各是多少?

(2)当产量Q为多少时,平均成本最小?最小平均成本是多少?

解设平均成本和边际成本分别为卡KA(Q)和KM(Q),则于是,有

(1)（元）（元）（元）

(2)由,解得Q等于200,且,即当Q等于200t时,平均成本最小,最小值为（元）

例2设某种产品需求量Q是p的函数:求需求量Q对于p的弹性.

解由

根据弹性的定义,有

例3设生产某种产品的固定成本为60万元,每周生产Q台时,边际成本为KM(Q)等于0.6Q-2（万元）.设该产品的每台销售为10万元,试讨论每周生产多少台时所获得的总利润最大.

解设总成本,总收益和总利润分别为和,则有其中总成本KT(Q)可由边际成本KM(Q)通过不定积分求出,

考虑到Q等于0时,企业仍需支付固定成本60万元,故KT(Q)等于60,代入上式得到C等于60,于是

而总收益RT等于10Q,因此总利润为

当C’(Q)等于12-0.6Q,令C’(Q)等于0解得Q等于20,并且可知当产量为20台时,总利润达到最大为60万元.

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