高等数学之美

【摘 要】当前,很多学生对数学有一些误解,他们认为数学是一门令人乏味的学科,其主要原因是他们还没有领会到数学中的美.数学是一门美的学科,更是一门艺术,数学概念的简单化、统一性,结构系统的层次性、协调性、对称性,数学练习、数学命题的结合性、概括性都渗透着美,本文就此说说高等数学中渗透的一些美.

【关 键 词】高等数学简单美统一体现

【基金项目】本文系2013年校级科研课题“临沧师专高等数学教学改革与实践探讨”的阶段性成果.

【中图分类号】G64【文献标识码】A【文章编号】2095-3089（2013）12-0139-02

数学理论的过人之处,就在于能用最简单的方式揭示现实世界中的量及其关系的规律性.数学教学必须根据学生的心理特点,遵循教学规律,运用美育原则,通过教师的精心设计,把数学材料的静态集合转化成切合学生心理水平的教学的动态过程,造成一种知识与能力的结合,数学与艺术交融,教师与学生共鸣的优美环境.高等数学中,处处都存在数学的美,教师要让学生将数学思想方法作为鉴赏数学美的重要途径,运用类比方法时鉴赏相似美,运用构造法时鉴赏结构美与奇异美,运用解析法时鉴赏和谐美,运用对偶法时鉴赏对称美.

1.简洁美

简洁美是数学美的重要标志,数学的简洁美并不是指数学内容本身简单,而是指数学的表达形式、数学的几何语言、数学的证明方法和数学的理论体系结构简洁,数学的简洁美主要表现在数学的逻辑结构、数学的方法和表达形式的简单性.

1.1数学逻辑结构的简洁美

简洁性是数学结构美的基本内容,就数学理论的逻辑结构而论,它的简单性一般包括两个方面的内容：一是理论前提的简单性；二是理论表述的简单性,以最简单的方式抓住现象的本质,定理和公式简洁明了.数学家们通过实践也证明了数学的简洁性与严格性不可能产生矛盾.正如爱因斯坦所说的“我们面对的这个世界,可以由音乐的符号组成,也可以由数学公式组成.”比如数列极限的ε-N定义：

xn等于A?圳?坌ε>0,?埚N,当n>N时,有|xn-A|<ε,

函数极限的ε-N定义：

f（x）等于A?圳?坌ε>0,?埚δ>0,当0≤|x-x0|<ε时,有|f（x）-A|<ε

简练严谨,内涵丰富,充分体现了数学逻辑结构的简洁美.

1.2数学表现形式的简洁美

数学的简洁美还体现在数学表现形式上,数学符号充满了整个数学教学,数学离不开数学符号,数学符号的根本作用是使得数学语言成为全世界通用的最简洁的语言.在数学中,符号语言要求合理、简洁明了、易用、规范.比如没有人愿把一亿写成l00000000,而要写成l07,用字母表示数字元,将文字语言转化成为符号语言就体现了数学表现形式的简洁美.

2.对称美

对称性是最能给人美感的一种形式.德国数学家魏尔说“美和对称性紧密相关”,在现实世界中,对称的现象很多,人体的外形显示出左右对称,建筑、工具等也常呈现对称性.例如：几何中的中心对称、轴对称、镜像对称等都体现了对称美；逆运算中,映射、逆映射,微分、积分,正数、负数,分数、整数,实数、虚数等数域的扩张,都是追求对称美的产物.

2.1几何图形的对称美

几何图形的中心对称、轴对称、点对称、面对称、球对称,都给人以舒适、美观之感,而球对称被认为是最美的对称.再如高等数学中伯努利双纽线r2等于a2cos2α、四叶玫瑰线r等于acos2α曲线的图形等无不体现对称美.

2.2数学知识和思想方法的对称美

数学将数域一次次的扩充,从正数到负数,有理数到无理数,都是追求形式对称美的结果.再如加法的逆运算是减法,乘法的逆运算是除法,乘方的逆运算是开方,正弦函数与余弦函数,指数函数与对数函数,这种逆运算的建立也都与对称美有关.还有导数的运算法则,微积分中的二项式定理,空间曲面的法线方程,连续与间断等等.

3.和谐统一美

和谐性是数学美的最基本、最普遍的特征之一,任何美的东西无不给人以和谐之感.就数学而言,数学中的和谐统一美是指部分与部分,部分与整体之间的内在联系或共同规律所呈现出来的和谐、一致.数学推理的严谨性和矛盾性体现了和谐,表现在一定意义上的不变性,反映了不同对象的协调一致.

3.1数学概念、规律、方法的统一

一切客观事物都是相互联系的,因而作为反映客观事物的数学概念、数学定理、数学公式、数学法则也是相互联系的,在一定条件下可处于一个统一体之中,如定积分、重积分、曲线积分和曲面积分,它们表述的实际意义各不同,但都统一于黎曼积分之中.各积分之间的联系可表示为图1.

在数学方法上,同样渗透着统一性的美,例如：从结构上分析,解析法、三角法、复数法、向量法和图解等具体方法,都可以统一与数形结合法.数学中的公理化方法,使零散的数学知识用逻辑的链条串联起来,形成完整的知识体系,在本质上体现了部分和整体之间的和谐统一.

3.2数学理论的统一

高等数学中定义和定理以及数、式、形之间,各个知识块既相互独立、自成体系,又依一定的逻辑关系相互贯通、相互派生,表现为高度的和谐统一.和谐美贯穿于高等数学这个庞大的知识网络内.例如,函数与极限是贯穿高等数学的两个最基本的概念,函数是微分学研究的对象,而微积分的定义就是极限概念及其推论,它们之间体现了知识的联结美.又例如微分中值定理,其本质是闭区间上函数的增量与这区间上某点的导数之间的关系,它是微分理论中的重要组成部分,也是导数应用的桥梁.其中罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情况,柯西中值定理又是拉格朗日中值定理的推广,并且泰勒定理是拉格朗日中值定理向高阶导数情况下的推广和应用,它是更一般的微分中值定理形式.它们充分表达了定理之间的和谐与统一.

3.3数学和其他科学的统一

数学和其它科学的相互渗透,导致了科学数学化.正如马克思所说的,一门科学只有当它成功的运用数学时,才算达到了真正完善的地步.力学的数学化使牛顿建立了经典力学体系,科学的数学化使物理学与数学趋于统一.建立在相对论和量子论两大基础上的物理学,其各个分支都离不开数学方法的应用,它们的理论表述也采用了数学的形式.化学的数学化加速了化学这门实验性很强的学科向理论科学和精确科学的过渡.

4.奇异美

数学的奇异是指数学结论或解决问题方法的新颖、奇巧、出乎意料,往往勾起思想上的震动,引起人们的赞赏与叹服.在这种意义上奇异也是一种美,奇异到极点更是一种美.例如：人们把可微与连续看作一回事的时候,绝不会感到可微有什么新的特色可供欣赏,当处处不可微的函数呈现在我们面前时是多么令人激动不已.牛顿莱布尼茨公式从一开始直到很长时间内是畅通无阻的,当狄里克莱作出函数,原有积分失灵了,这种奇异现象给积分带来新的生机,人们开始创立新的积分――勒贝格积分.可以说,不获得奇异性结果,旧的错误观念就不会崩溃,就不会产生认识的飞跃,因此也就不难理解数学上的奇异美,如果没有奇异性,数学也就黯然失色了.此外,数学中有很多平滑曲线,如概率曲线、笛卡尔叶形线、心形线、伯努里双纽线、三叶玫瑰线等,这些曲线画起来流畅自然,无一不给人以美感的享受；圆柱螺旋线、圆锥螺旋线在旋转中不断上升,给我们运动的感觉,体验到动感的美.