不等式恒成立问题

点赞:22462 浏览:105472 近期更新时间:2024-03-04 作者:网友分享原创网站原创

【中图分类号】G633.6【文献标识码】A【文章编号】2095-3089(2013)05-0135-01

确定不等式恒成立时参数的取值范围,是学生不易解决的难点问题.不等式恒成立问题是高考及的命题热点,因此也就成为我们数学教学的重点和难点.解答这类问题主要有四种方法:其一,利用一次函数的单调性;其二,利用二次函数的单调性;其三,分离参数,转化为求函数的最值;其四,利用数形结合法.

方法一:利用一次函数的单调性

设一次函数f(x)等于ax+b(a≠0),当a>0时f(x)在R上是增函数;当a<0时f(x)在R上是减函数.所以关于不等式恒成立问题,若能将不等式化为关于主元(或参数)的一次函数,则可用一次函数的单调性求解.

具体情况为:当x∈[m,n]时,

f(x)>0恒成立?圳a>0f(x)min等于f(m)>0或a<0f(x)min=f(n)>0;

f(x)<0恒成立圳a>0f(x)max等于f(n)<0或a<0f(x)max=f(m)<0;

或x∈[m,n]时,f(x)>0恒成立?圳f(m)>0f(n)>0;

x∈[m,n]时,f(x)<0恒成立圳f(m)<0f(n)<0;

例.对于任意的|m|≤2,函数f(x)等于mx2-2x+1-m恒为负值,求x的取值范围.

解法一:对任意的|m|≤2,函数f(x)等于mx2-2x+1-m恒成立,等价于关于m的一次不等式(x2-1)m-2x+1<0在|m|≤2上恒成立.

设g(m)等于(x2-1)m-2x+1,则有

x2-1>0g(2)<0,或x2-1<0g(-2)<0,或x2-1=0g(m)=-2x+1<0,

即x2-1>02(x2-1)-2x+1<0,或x2-1<0-2(x2-1)-2x+1<0,或x2-1=0-2x+1<0.

解得1

解法二:对任意的|m|≤2,函数f(x)等于mx2-2x+1-m<0恒成立,(x2-1)m-2x+1<0在|m|≤2上恒成立.

设g(m)等于(x2-1)m-2x+1,则有g(-2)<0g(2)<0,

即-2(x2-1)-2x+1<02(x2-1)-2x+1<0,即2x2+2x-3>02x2-2x+1<0,

解得

总结:对于此类问题,我们不妨换个角度看问题,换个方面去解释,换个方向去思考,往往会收到意想不到的效果.

方法二:利用二次函数的单调性

设二次函数f(x)等于ax2+bx+c(a>0),其图象是开口向上的抛物线,在区间[-,+∞]上f(x)是增函数,在区间[-∞,-]上是减函数.所以:f(x)>0在R上恒成立?圳a>0△<0;

f(x)>0在区间[m,n]上恒成立?圳->nf(n)>0或-0或△<0.

例1.设f(x)等于x2-2ax+2,当x∈[-1,+∞)时,都有f(x)≥a成立,求实数a的取值范围.

解:设g(x)等于f(x)-a等于x2-2ax+2-a

则问题转化为:当x∈[-1,+∞)时g(x)≥0恒成立,

∴有△≤0或-≤-1g(-1)≥0,

即4a2-4(2-a)≤0或a≤-11+2a+2-a≥0,

解得-2≤a≤1或-3≤a≤-1.

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∴-3≤a≤1即为所求a的取值范围.

例2.若对于任意x∈(0,1),恒有2x2+(a+1)x-a(a-1)<0,求a的取值范围.

解:令f(x)等于2x2+(a+1)x-a(a-1)<0,∵对任意x∈(0,1),恒有f(x)<0,∴有f(0)≤0f(1)≤1,即-a(a-1)≤02+(a+1)-a(a-1)≤0,解得a≤-1或a≥3即为所求.

方法三:分离参数,将不等式恒成立转化为求函数的最值


关于x的不等式f(x,λ)≥0在区间D上恒成立,变形并分离出参数λ得F(λ)≥G(x)或F(λ)≤G(x)在区间D上恒成立,则有关系式F(λ)≥G(x)max,或F(λ)≤G(x)min,从中可求出参数λ的取值范围.

例1.求+≤a(x>0,y>0)恒成立的a的最小值.

解:由+≤a(x>0,y>0)恒成立,得a≥恒成立.∴只需a≥()max.

∵等于等于

等于≤

等于等于,

∴()max等于.∴a≥.∴a的最小值是.

例2.设f(x)等于lg,其中a是实数,n是任意给定的自然数且n≥2,如果f(x)当x∈(-∞,1]时恒有意义,求a的取值范围.

解:f(x)当x∈(-∞,1]时有意义的条件是1+2x+3x+等+(n-1)x+nxa>0在x∈(-∞,1]上恒成立,即a>-[()x+()x+()x+等+()x]在(-∞,1]上恒成立.

∵函数y等于-()x(k等于1,2,3,等,n-1)在(-∞,1]都是增函数,

g(x)等于-[()x+()x+()x+等+()x]在(-∞,1]上也是增函数,从而g(x)在x等于1时取得最大值为

g(1)等于-(+++等+)

等于-等于-.

∴只需a>g(x)max等于g(1)等于-,

∴a的取值范围是a>-.

方法四:数形结合法求解不等式恒成立问题

例:如果不等式x2-logmx<0在(0,)内恒成立,求实数m的取值范围.

解:在同一坐标系内画出函数y等于x2和y等于logmx的图像,可看出当m>1时原不等式不成立.从而0x2在x∈(0,)上恒成立,只需当x等于时满足logm≥.

解得m≥.∴≤m<1即为实数m的取值范围.

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