印度初中数学教学大纲评介

1印度教育简况

1.1教育行政管理体系

印度28个邦和7个直辖区组成了35个一级行政区（StateandUnionTerritories）,下有专区、县、乡（市）、村（镇）行政区,教育行政体系也依此建立.印度独立之后,沿用了被殖民时期和地方（邦）共同管理教育的体制,随着权利的下放不断提高化程度.独立初期,印度分别针对高等教育、中等教育、基础教育成立了相应的教育委员会,指导各自的教育改革与发展.1950年的印度宪法规定,教育实行地方分权,原则上由各邦管理,联邦教育部只通过财政援助的方式促进各邦教育平衡发展.1966年,科塔里（Kothari,D.S）教育委员会发布《教育与国家发展》报告,提出要发挥政府对教育的领导力,并把邦教育部作为制定和执行教育计划的主要机构等建议,对其后20年的教育行政与管理方面的发展做了详细规划.1986年《国家教育政策》（TheNationalEducationPolicy）教育行政改革目标是把权利从邦下放到地方一级,以县为单位施行初等教育.把教育咨询委员会、邦教育咨询委员会、县教育委员会和地方一级写作技巧机构作为教育管理的核心,以人力资源开发部教育司取代原教育部,作为一级的教育行政管理机关负责全国教育事务,尤其是各级教育发展纲要的制定.

此后,全国教育研究与培训委员会、教育咨询委员会等在内教育行政管理机构日益壮大,县教育委员会、自治市教育委员会等地方教育行政管理机关在各邦教育部的指导下发展起来,不断完善教育分权的管理机制.

1.2普通基础教育课程改革

印度基础教育课程经历了多次改革,特别是2005年印度国家教育与培训委员会（NationalCouncilforEducationalResearchandTraining,简称NCERT）颁布的《国家课程框架》（NationalCurriculumFramework,简称NCF）掀起了印度新一轮的课程改革.进入21世纪后,世界课改潮流的引领与推动,促使印度重新审视过去改革成效甚微的问题.例如,印度在第一个五年计划期间,国家教育经费的56%拨给了初等教育[1],为什么一直没能实现普及义务教育.同时面对经济全球化带来的挑战,政府认识到要转向提高教育质量、巩固儿童入学率、减轻学生压力等方面,而不是提出不切实际的宏伟目标.最重要的是,要在保证统一有序的教育体制下促进印度多元化发展,就如NCF所言：“区别的存在是上天赐予我们的礼物,我们需要保护这种多元的存在,并使它繁荣发展.”[2]NCERT在此框架搭建的课程体系基础上,于2006年制定了基础教育各科教学大纲（syllabus）,加快统一全国课程的步伐.

印度现行学制为“10+2+3”模式,即10年的普通教育加上2年的高中教育,以及3年的高等教育.其中,普通教育可细分为5年的初级小学、3年的高级小学与2年的初中教育.该学制10个主要目标为：“与现实密切相联的教育、实施数学与科学教育、社会正义和国家一体化、民族意识和民族理解、劳动体验、三种语言方案、艺术体验与表现、健康与体育、性格锻炼、基本素质”[3].无论是从学生的年龄特点出发,还是出于对印度现行学制的综合考虑,“10+2+3”的教育体系适合在全国统一实行.普通教育阶段的课程开发由全国性教育自治组织NCERT负责,于2006年统一了全国最新课程设置：初小阶段开设语言（Language）、英语（English）、数学（Mathematics）、环境学（EnvironmentalStudies）四门课程,高小阶段增设科学（Science）和社会科学（SocialScience）,初中阶段除去环境学,又在小学的基础增加了历史（History）、地理（Geography）、政治学（PoliticalScience）、经济学（Economics）,共9门课程.之后的三年时间里,NCERT还陆续出版了小学至高中的统一教科书,并在全国发行使用.

本文介绍的印度普通教育数学教学大纲文件为：SyllabuorSecondaryLevel∶Mathmetics（IX-X）,由NCERT编定并于2006年6月出版,是印度历史上第一个全国性的统一课程文件.

2印度初中数学教学大纲总体特点

此阶段的教学大纲中的概念及其应用与小学课程保持一致,每个年级的教学大纲转化为实际教学的时间均约为180课时,这是根据该领域的教师教学反馈的实际的数字,总体呈现出四大特点：

学习一个或一系列概念所需课时的规定,应当考虑学习者的情况,使得他们能通过几种方法去发展并详细阐述自己（对概念）的理解以及这些概念间的内在联系.当实施这个教学大纲时,我们希望能提供学习者许多机会去探究数学概念和过程,以利于他们能建构对这些概念的理解.

核心是发展涉及数学推理的过程.因此,学习者需要大量机会和足够的时间发展处理高度抽象化的过程,从特殊到一般再到特殊,对一个概念或过程从一种表述到另一种表述的熟练,解决问题并提出问题,等等.

实施数学课程时,课程与学习者的生活与经验的关联应该被作为重点来考虑.其目的是使学习者认识到数学以何种方式存在于生活之中以及为什么.

我们注意到在初中阶段,学生接触了更正式（形式化）的数学.他们需要发现到目前为止所学知识的联系并加以巩固,然后开始尝试并理解涉及的正式（形式化）的思考过程.在这样的观点下,在九年就到十年级,数学证明/推理和数学模型这两个领域在每个年级都有学习.由于是首次学习这两个领域,且学生缺少必需的意识,所以将它们作为教科书的附录部分的主题.这给教师和学生一个接触这些概念的机会.如果课程时间允许,这些主题可以按照计划包含在教学大纲的主要内容中.

初中阶段的总体指导方针：所有的概念/等式必须用实例加以说明.

文字题的语言必须是清楚的、简单的、明确的.

所有证明的推理要用不说教的方式,让学习者看到连贯的推理的过程.所有证明必须以能让学习者看到连贯的推理的方式给出.只要有可能,给出一种以上的证明.

推导大部分结果.明确地证明那些结果,其中简短而清楚的证据能增强数学思考与推理.必须强调表述论点的正确方式.

尺规作图的原因是为了推导并解释合理的观点与推理.所有的作图必须包括对作图的分析,证明作图必须经历的步骤.

3印度初中数学教学大纲具体内容

3.19年级具体数学课程内容

第一单元：数系

实数（20课时）

复习自然数、整数、有理数在数轴上的表示法.有限小数或无限循环小数的表示,通过连续增多小数点位数的（即逐渐逼近取近似值）的方法表示在数轴上.有理数表示成循环小数或有限小数.

不循环或者无限小数的例子,如：2,3,5等.无理数的存在,如2,3,以及在数轴上的表示方法.解释每个实数可由数轴上唯一的一个点表示,相反地,数轴上的每一个点都表示唯一的一个实数.x是正实数时,x的存在性（强调可视化的证明）.实数的n次方根的定义.

回顾整数指数幂的规律.底数是实数的有理指数幂（由特例给出,允许学习者找出一般规律）.

如1a+bx与1x+y类型（或两者结合）的实数有理化（有精确的含义）,其中x、y为自然数,a、b为整数.

第二单元：代数

多项式（25课时）

利用正反例理解一元多项式及系数,一元多项式的项与零次多项式.多项式的次数.常数多项式、一次多项式的、二次多项式、三次多项式,单项式,二项式,三项式.因数和倍数.多项式的零解/方程的根.利用实例表述并推导学习余式定理,并类推到整数.陈述并证明因式定理.因式分解ax2+bx+c,a≠0,其中a、b、c是实数,利用因式定理分解三次多项式.

回顾代数表达式与等式.更高级的等式类型,如：

（x+y+z）2等于x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx,（x±y）3等于x3±y3±3xy（x±y）,

x3+y3+z3-3xyz等于（x+y+z）（x2+y2+z2-xy-yz-zx）,

及它们在多项式的因式分解中的应用.利用简单的表达式化简这样的复杂多项式.

二元一次方程（12课时）

回顾一元一次方程.介绍二元方程.证明一个二元一次方程有无限多的解,并可以写成有序实数对的方式,将这些实数对描点后可以发现它们位于同一直线上.同时用代数与几何的方法解决现实生活中比率与比例问题的例子.

第三单元：解析（坐标）几何（9课时）

笛卡尔平面,点的坐标,跟坐标平面有关的名称和术语,特定符号,在平面上描点,以一次方程的图像为例；关注形如ax+by+c等于0的线性方程,写成y等于mx+c的形式,并与二元一次方程这一章节的内容联系起来.

第四单元：几何学

介绍欧式几何（6课时）

欧几里得和印度几何学的历史.欧几里得利用通用/显然的概念、公理/公设、定理等将生活中观察到的现象形式化成严格数学的方法.欧几里得的五个公设,第五公设的等价条件.展示公理与定理的关系.

过两点能且只能作一直线.

（证明）两条不同的直线最多仅有一个公共点.

线和角（10课时）

（推导）如果一条射线位于另一条直线上,则相邻两角的和为180°,射线反向延长在另一侧的情况亦然.

（证明）两直线相交,对顶角相等.

（推导）第三条直线与两平行直线相交时,同位角、内错角、同旁内角的情况.

（推导）同平行于一条直线的直线互相平行.

（证明）三角形的内角和是180°.

（推导）如果延长三角形的一条边,则形成的外角等于与它不相邻的两个内角之和.（三角形的一个外角等于其不相邻的两内角之和）

三角形（20课时）

（推导）如果两个三角形的两边及其夹角分别对应相等,则这两个三角形全等（SAS全等）.

（证明）如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等,则这两个三角形全等（ASA全等）.

（推导）如果两个三角形的三条边分别对应相等,则这两个三角形全等（SSS全等）.

（推导）如果两个直角三角形的斜边和其中一条直角边分别对应相等,则这两个直角三角形全等.

（证明）在同一三角形中,如果两条边相等,则两个边的对角相等.

（推导）在同一三角形中,如果两个角相等,那么这两个角所对的边也相等.

（推导）三角不等式,“角与其所对的边”的关系,三角形中的不等式.

四边形（10课时）

（证明）平行四边形的对角线将四边形划分成两个全等的三角形.

（推导）平行四边形的两组对边分别相等,反之亦然.

（推导）平行四边形的两组对角分别相等,反之亦然.

（证明）如果四边形的一组对边平行且相等,则这个四边形是平行四边形.

（推导）平行四边形的对角线互相平分,反之亦然.

（推导）一个三角形中,连接其中任意两边中点的线段平行于第三边,反之亦然（推导）.

面积（4课时）

复习面积的概念,回顾矩形的面积.

（证明）夹在同一对平行线之间的有相同的底的两个平行四边形面积相等.

（推导）夹在同一对平行线之间的有相同的底的两个三角形面积相等,反之亦然（即如果两个同底的三角形面积相等,那么它们一定夹在同一对平行线中）.圆（15课时）

通过实例,得出圆的相关概念：半径、周长、直径、弦、弧度、圆周角.

（证明）在相同的圆中,相等的圆心角所对的弦相等,反之亦然（推导）.

（推导）在一个圆中,经过圆心的弦的垂线平分这条弦,反之亦然（即在一个圆中,如果一条弦的垂线平分这条弦,那么这条垂线经过圆心）,过圆心且平分弦的直线垂直于这条弦.

（推导）经过三个不共线的能且只能确定一个圆.

（推导）在同圆（或者等圆）中,相等的弦到所在圆的圆心距离相等,反之亦然.

（证明）等弧所对的圆心角是其所对任意圆周角的两倍.

（推导）同弧所对的圆周角相等.

（推导）如果连接两个点与位于这条线同侧的另外两个点间的线段,同弧所对的圆周角相等,则这四点共圆.

（推导）圆内接四边形的任一组对角的和为180°,反之亦然.

作图（10课时）

作线段与角的平分线,60°,90°,45°等度数的角,等边三角形.

已知一底边、另外两边的和或差与一个底角作三角形

已知周长与两个底角作一个三角形.

第五单元：测量

面积（4课时）

用海伦公式（无需证明）计算三角形的面积,并利用此公式计算四边形面积.

表面积与体积（10课时）

正方体、长方体、球体（包括半球）、直圆柱体、正圆锥体的表面积和体积.

第六单元：统计与概率

统计（13课时）

统计学介绍：数据的收集,用一下几种方式表征数据：表格、不分组或者分组、条形图、柱状图（不同的基线长度）,频数多边形,并定性地分析数据.平均数、中位数、未归类数据的众数.

概率（12课时）

介绍概率的历史知识,在重复实验中,观测频率逐步趋向概率.关注经验概率.（大量的时间花在集体与个人的实验活动中,促使概率概念的产生；实验来自现实生活情境,来自统计中的例子）.

附录

数学证明

什么是表述；数学中何时表述是有效的.用熟悉的例子解释公理或者检测设.区别公理、猜想和定理.“证明”的概念与性质（强调证明、猜想、检测设、逻辑论证的演绎性）,能写出证明.用算术、代数、几何中的简单结论的完整论证过程来进一步阐释演绎证明（例如：两个奇数相乘,积仍为奇数.）.特别强调检验而不是证明.解释验证导致错误结论的例子――如“每一个大于1的奇数都是质数”等论述.反证法的意义,反例的应用.

数学建模介绍

数学建模的概念,回顾在低年级解决情境问题完成的工作,旨在数学模型,讨论数学建模的大致阶段：现实情境,设定检测设,确定一个适当的模型,解决等价的数学问题,分析结论以及在现实生活中的解释,检验模型.包含比、比例、百分数等例子.

3.210年级具体数学课程内容

第一单元：数系

实数（15课时）

欧几里得辗转相除法的引理,算法的基本原理――复习已学知识,并通过例子加以阐释.结论的证明――2,3,5的无理性,有理数的小数表达,用有限小数或无限循环小数的形式.

第二单元：代数

多项式（6课时）

多项式的零解.多项式的零解与系数之间的关系,以二次多项式为例.实系数多项式的辗转相除法的简单问题与命题.

二元一次方程组（15课时）

二元一次方程组.不同解法的可能性的集几何表示.

解的个数的代数条件.二元一次方程组的代数解法――用换元法、消元法、十字相乘法.必须包含简单的情境问题.简单的方程问题可化简为一次方程.

二次方程（15课时）

二次方程的标准式为ax2+bx+c等于0,（a≠0）.二次方程（仅实根）的因式分解与完全平方的解法,也就是说,利用二次表达式解方程.判别式与根的性质的关系.

包含与常活动联系在一起的数学问题.

等差数列（大学先修课程（8课时））

鼓励学习大学先修课程.推导出数列第n项的通项公式,以及前n项的和的求和公式.

第三单元：三角学

三角学介绍（18课时）

直角三角形中锐角的三角比.证明比率的存在性（定义良好）,推导其在0°到90°之间的比率.

30°,45°,60°的三角比的重要性（需证明）,以及之间的关系.

三角等式：证明等式sin2A+cos2A等于1,并会应用.只需给出简单的等式.余角的三角比.

高度和距离（8课时）

在高度和距离上的一些简单且可信的问题.问题中直角三角形的个数最多不超过两个.仰角或者俯角只能是30°,45°,60°.

第四单元：解析（坐标）几何

直线（二维）（15课时）

复习已学的解析（坐标）几何的概念,其中包括一次方程的图像.有意识对二次多项式进行几何表示.两点间的距离公式与定比分点公式（内部的）.三角形的面积.

第五单元：几何学

三角形（15课时）

相似三角形的定义、例子、反例.

（证明）如果作一个平行于三角形一边且与另外两条边相交的直线,那么这两条边以相同的比被分割（被分割成的两条线段的比相等）.

（推导）如果一条直线以相同的比分割三角形的另外两条边,那么这条直线平行于第三条边.

（推导）在两个三角形中,如果对应的角相等,那么对应的边成比例,这两个三角形也相似.

（推导）在两个三角形中,如果两个角的对应边成比例,那么对应角相等,这两个三角形也相似.（推导）如果一个三角形的一个角等于另一个三角形的一个角,且组成这两个角的对应边成比例,那么这两个三角形相似.

（推导）如果从一个直角三角形的直角顶点向斜边作垂线,那么垂线两边的三角形相似且与整个三角形相似.

（证明）两个相似三角形的面积比等于它们对应边的比的平方.

（证明）在直角三角形中,斜边长的平方等于两直角边的平方和.

（证明）在三角形中,如果一边长的平方等于另外两边和的平方,那么第一条边对应的角是直角.

圆（8课时）

一个圆的切线是越来越近的点绘制的弦.

（证明）圆上任何点的切线是通过这个点的半径的垂线.

（证明）从圆外一点所作圆的所有切线的长度相等.

作图（8课时）

以已知的比例从内部分割线段.

从圆外一点作圆的切线.

作一个已知三角形的相似三角形

第六单元：测量

与圆有关的面积（12课时）

推导圆的面积；圆的扇形部分和弓形部分的面积.根据以上平面图形的面积和周长出现的题目.（在计算一个圆的弓形部分的面积时,题目的中心角必须限制为30°、60°、90°、120°.平面图形需涉及三角形、简单的四边形和圆）

表面积和体积（12课时）

题目中涉及组合图形表面积和体积的两个图形必须是以下图形：立方体、球体、半球、直圆柱/圆锥体、圆锥台.

涉及到转化一类金属固体到另一种金属固体,以及其他的混合题目.（组合类的题目采用的立体图形不超过两种）

第七单元：统计与概率

统计（15课时）

分组数据的平均数、中位数和众数（双模态的情形应该被避免）累积频数直方图

概率（10课时）

概率的经典定义.与在九年级中已知的概率的联系.简单事件的简单问题,不使用集合符号.

附录

数学证明

在“命题”、“证明”和“论证”概念方面更深入的讨论.完整的演绎证明的进一步说明,这些演绎证明使用算术、代数和几何方面的简单结果.“已知等检测设等证明等”的简单定理.使用仅有的已知事实（忽略它们的真值）获得要求的结论方面的训练.对已知结果/命题的“逆命题”、“否命题”、构造已知结论/命题的逆命题和否命题.

数学建模

强化数学建模的概念,使用忽略限制的模型的简单例子.考虑估计确定事件出现的概率和均值.市场公平分期付款的建模,使用简单的利率和期值（大学先修课程）.