恒成立问题的解法

点赞:3928 浏览:14098 近期更新时间:2024-02-17 作者:网友分享原创网站原创

摘 要:不等式恒成立是经常遇到的问题,解决方法灵活.笔者在多年的数学教学中总结了一些方法,在此文中加以介绍.

关 键 词:分离变量;含参函数;数形结合

高三复习中经常出现恒成立问题和有解问题,解决这两类问题实质上解法相同,都是转化成求函数的最值问题.主要方法有分离变量,含参函数,数形结合三种方法.方法中渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法.笔者利用以下几个例题来说明恒成立问题.

例1:若不等式x2+ax+1≥0对于一切x∈(0,]都成立,求实数a的最小值.

解法1:(分离变量)不等式可化为ax≥-x2-1,x∈(0,]恒成立,即a≥-(x+),x∈(0,]恒成立.

令y等于-(x+),∵y等于-(x+)在(0,]上是减函数.∴y等于-(x+)max等于-∴a≥-,a的最小值为-.

解法2:(含参函数)令f(x)等于x2+ax+1对称轴x等于-.

-≤0f(0)≥0?圯a≥0,0<-

综上a≥-,∴a的最小值为-.

比较两种方法,分离变量不用讨论,转化为具体函数求最大值;而含参函数方法中是直接求含参的二次函数的最小值,需分三种情况讨论.此题还是分离变量的方法较好,避免了分类讨论.

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例2:若对任意R,不等式|x|≥ax恒成立,求实数a的取值范围.

解:在同一直角坐标系中画出y等于|x|与y等于ax两个函数图象如图1:

观察图象a的取值范围[-1,1],当不等式两端对应的函数类型不同时多用数形结合法.

例3:已知集合P等于{x|≤x≤3}函数f(x)等于log(ax2-2x+2)的定义域为Q,若P∩Q等于Φ,求实数a的取值范围.

分析:Q为ax2-2x+2>0的解集∵P∩Q等于Φ,∴Q的范围和P的范围没有公共部分,即求ax2-2x+2>0的解集与P无公共部分.但是含参的二次函数讨论起来较麻烦.可以转化为恒成立问题解决.

解:要使函数f(x)有意义,只需ax2-2x+2>0.∵P∩Q等于Φ.等价于?坌x∈Pax2-2x+2≤0恒成立.即a≤(-)2+恒成立.


令y等于(-)2+∵≤x≤3∴≤≤2

∴y等于(-)2+∈[-4,],y等于()min等于-4

∴a≤-4.

在解综合性较强的恒成立问题时,有时一题多法,关键抓住恒成立的实质,具体问题具体分析,不要拘泥于一种方法.

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