多视角下初中几何图形的一题多解

随着时代教育理念的更新和新课改的不断深入,近年来各地中考数学试题不断推出一批批探索性、开放性和应用性试题,面对新的教育形势,老师们会思索以下问题：初中数学教学中要如何灵活转变教学思路?如何激发学生的学习兴趣和创新意识,培养创新能力?等等.我在长期的实际教学过程中,对这些问题进行过深思和探索,其中较突出的是引导学生进行一题多变的训练.我以初中几何图形的一题多变分析其引导过程与方法.

在完成一个数学题的解答时,有必要对该题的内容、形式、条件、结论做进一步探讨,以真正掌握该题所反映的问题的实质.如果能对一个普通的数学题进行一题多变,从变中总结解题方法；从变中发现解题规律,从变中发现“不变”,则必将使人受益匪浅.一题多变,有利于深化知识,实现数学中各知识的内涵和外延,从而培养学生的发散性和创造性思维；多解也可归一,有利于知识点的提炼分析,从多解中择优,培养学生的聚合思维.下面我结合三角形、梯形等问题看一题多解.

一、三角形一题多解

例1.如图：已知AB等于AC,E是AC延长线上一点,且有BF等于CE,连接FE交BC于D,求证：FD等于DE.

证法一：过E点作EM∥AB交DC延长线于M点,则∠M等于∠B,又因为∠ACB等于∠B,

∠ACB等于∠ECM等于∠M,所以CE等于EM,又EC等于BF,从而EM等于BF,∠BFD等于∠DEM,

则△DBF≌△DME,故FD等于DE.

证法二：过F点作FM∥AE,交BD于点M,则∠1等于∠2等于∠B所以BF等于FM,又∠4等于∠3∠5等于∠E,所以△DMF≌△DCE,故FD等于DE.

二、梯形一题多解

例2.如图：已知梯形ABCD,AD∥BC,以AB、BD为边,作平行四边形ABDE,AD的延长线交CE于F,求证：EF等于FC.

证法一：连接BE交AD于O.∵平行四边形ABDE,∴OB等于OE.

∵AD∥BC,即OF∥BC中位线,

∴EF等于CF.

证法二∵AD∥BC,∴将AB平移到DC由平行四边形ABDE,∴AB∥等于DE.

∵DG∥等于AB,∴DG等于ED,∵AD∥BC,即DF∥BC∴EF等于FC.

证法三：AD∥BC,即AF∥BC.BD平移到CG的位置,并交AF延长线于G.

我们通过条件可证△AEF≌△GCF,∴FE等于FC.

三、圆的一题多解

例3.已知,如图,在⊙O中,AD是直径,BC是弦,AD⊥BC,E为垂足,由这些条件你能推出哪些结论?（要求：不添加辅助线,不添加字母,不写推理过程）

思路与解法一：从相等的线段这一角度出发,可得如下结论：

1.OA等于OD；

2.BE等于CE；

3.AB等于AC；

4.BD等于CD.

思路与解法二：从相等的角这一角度出发,可得如下结论：

1.∠AEC等于∠AEB等于∠BED等于∠CED等于∠ABD等于∠ACD等于90°；

2.∠ABC等于∠ACB；

3.∠DBC等于∠DCB；

4.∠BAD等于∠CAD；

5.∠BDA等于∠CDA；

6.∠BAD等于∠BCD；

7.∠CBD等于∠CAD；

8.∠ABC等于∠ADC；

9.∠ACB等于∠ADB.

思路与解法三：从相等的弧这一角度出发,可得如下结论：

1.弧AB等于弧AC；

2.弧BD等于弧CD；

3.弧ABD等于弧ACD；

4.弧ABC等于弧ACB；

5.弧BAD等于弧DAC.

思路与解法四：从全等三角形这一角度出发,可得如下结论：

1.△AEB≌△AEC；

2.△BED≌△CED；

3.△ABD≌△ACD.

思路与解法五：从相似三角形这一角度出发,可得如下结论：

△ABE∽△ACE∽△CDE∽△BDE∽△ABD∽△ACD,即图中所有的直角三角形两两相似.

思路与解法六：从比例线段这一角度出发,可得如下结论：

1.AEDE等于EBEC

2.BE等于EAED等于EC

3.AB等于AEAD等于AC

4.BD等于DEDA等于DC

思路与解法七：从其他角度思考,还可得如下结论：

1.AE+BE等于AB等于AC等于AE+EC

.BE+ED等于BD等于CD等于CE+DE

3.∠BAC+∠BDC等于180°

4.∠BAE+∠ABE等于90°

5.S等于AD×BC

6.S等于S

由以上题目可以看出,虽然知识是静态的、题目是固定的,但是思维是活动的；它的变化却是无穷的.像以上一题多解与一题多变的题例,是举不胜举、美不胜收的.老师可以通过多视角对课本的例、习题进行变式,如：改变数据或图形、改变条件、改变结论；条件开放或结论开放或条件、结论同时开放条件；引申或结论拓展等.在教学过程中,如果有意识地深入去观察、分析、解决与反思,那么必能达到以一当十、以少胜多的效果,既增大课堂的容量,又培养学生各方面的技能,特别是自主探索和创新思维的能力.通过一题多变的训练,可以把各个阶段所学的知识、知识的各个方面融会贯通,既加深对知识的理解,又认识和体会数学是一个整体,更提高学习效率,激发学生的学习兴趣、创新意识和探索精神,培养他们的创新能力,学会学习.我将不断追求新知,完善自己,继续努力深入研究课本的例、习题和全国各地的中考试题.