数形结合思想的妙用

【摘 要】数形结合的思想是指在研究问题的过程中,由数思形或由形思数,把数和形结合起来分析问题的思想.数学教学任务不仅只在于传授知识,还在于塑造有数学思想的人.数形结合将抽象的数学语言与直观的图像结合起来,充分利用这种结合,寻找解题思路,使问题化难为易,化繁为简,从而得到解决.

【关 键 词】数学思想；数形结合

数学思想方法是数学基础知识的重要组成部分,是数学的精髓,是解题的指导思想,更能使人受益匪浅.加里宁曾经说过,数学是锻炼思想的“体操”.目前我们初中阶段涉及到的数学思想有：整体思想、换元思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化思想等等.本文就数形结合思想谈谈在解题时的妙用.

数与形是数学的两种表达形式,数是形的抽象概括,形是数的直观表现.我国著名数学家华罗庚曾经用“数缺形时少直观,形离数时难入微,数形结合百般好,隔离分家万事休”形象生动地阐述了数形结合的意义.数形结合的思想,其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来,关键是代数问题与图形之间的相互转化,它可以使代数问题几何化,几何问题代数化.下面就数形结合思想在具体问题中如何应用加以举例进行说明.

一、代数问题借助几何图形进行思考

例1：某班有50名学生,参加数学竞赛的有30人,参加演讲比赛的有25人,两科竞赛都没有参加的有8人,问两科竞赛都参加的有几人?

解析：这是一个一元一次方程的应用问题,我们可以借助几何图形来寻找等量关系,如图1,大圆表示该班的学生总数,两个小圆分别表示参加数学竞赛和演讲比赛的学生,两个小圆的公共部分表示两科竞赛都参加的学生,大圆内与小圆外之间的部分表示两科都没有参加的学生.设两科竞赛都参加的学生有x人,则有：8+30-x+x+25-x等于50,解得x等于13.即两科比赛都参加的学生有13人.

例2：已知点C在直线AB上,线段AC等于7cm,线段BC等于3cm,点E、F分别是线段AC、线段BC的中点,求线段EF的长.

分析：点C在直线AB上,这样的点C既可以在线段AB上,也可以在线段AB的延长线上,所以通过画图使学生理解起来更直观些,知道求线段EF的长有两种情况（EF等于CE+CF或EF等于CE-CF）.

解：因为点E、F分别是线段AC、线段BC的中点,所以CE等于AC等于3.5（cm）,CF等于BC等于1.5（cm）

第一种情况（如图2）,当点C在线段AB,EF等于CE+CF等于5（cm）第二种情况（如图3）,当在线段AB的延长线上,EF等于CE-CF等于2（cm）

二、几何问题借助代数关系进行计算

例3：如图4,正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张,如果要拼成一个长为a+3b、宽为a+b的大长方形,则需要C类卡片几张?

分析：本题是典型的几何问题代数化,因为大长方形的面积（a+3b）（a+b）等于a+4ab+3b,一方面利用等式乘法得出a+4ab+3b,另一方面结合图形发现a+4ab+3b实际上是已知的三种卡片的面积之和,利用拼图前后面积相等得出结论需要4张C类卡片.

例4：小明在拼图时,发现8个一样大小的长方形恰好可以拼成一个大的长方形,如图5所示.小红看见了说：“我来试一试”,结果小红七拼八凑后,拼成如图6所示的正方形.但是中间还留有一个边长为2mm的小正方形.你能求出原来小长方形的长和宽吗?

分析：本题中有两个未知量：长方形的长和宽,而两个拼图恰好给出了两个等量关系,图5中得到：3个长等于5个宽,图6中得到：宽的2倍减长等于2,因此本题可以通过二元一次方程组解决.

三、数形有机结合,简化计算过程

例5：抛物线y等于3x向右移动3个单位长度,向上移动5个单位长度,求移动后抛物线的解析式?

分析：通过数形结合我们很容易得出抛物线平移的实质就是点的移动,所以我们可以取特殊点（比如抛物线的顶点）移动,得出抛物线平移的规律是：左加右减,上加下减（左右移动是指解析式中x加或减,上下移动是指个式子加减）,从而得出答案为y等于3（x-3）+5.

例6：（2010年攀枝花市）如图7,等腰Rt△ABC位于第一象限,AB等于AC等于2,点A在直线y等于x上,点A的横坐标为1,边AB、AC分别平行于x轴、y轴.若双曲线y等于与△ABC有交点,则k的取值范围为（）

A.1

分析：先根据题意求出A点的坐标,再根据AB等于AC等于2,边AB、AC分别平行于x轴、y轴求出B、C两点的坐标及BC中点坐标,计算双曲线y等于（k不等于0）分别经过A点和BC中点时K的取值,最终确定答案选C.

上述例题充分说明在初中数学解题中,运用数形结合思想,不仅容易发现解题途径,而且能避免复杂的推理与计算,用简单直观的图形代替冗长的代数推理,大大简化了解题过程.教师通过在教学中渗透数形结合的方法,可以开拓学生的思维,把抽象问题直观化,对学生提高学习兴趣大有帮助,并且也有助于学生进入高中阶段的学习.本文所举例题将数与形有机结合起来,突出了数形结合思想的妙用.

【参考文献】

[1]诸建刚.灵活运用数学思想化解疑难问题[J].初中生世界,2013（5-6）

[2]成晓明.例谈解二元一次方程组中的数学思想方法[J].初中生世界,2013（5-6）

[3]张军.一元一次方程中的数学思想方法[J].初中生世界,2012（11-12）

（作者单位：江苏省启东市继述中学）