对计算机知识经济时代数学教育的

名师速写

这是一位如今已年逾七旬的老教师.自1960年踏上讲台以来,他已经在数学教育园地辛勤耕耘了53年,把毕生心血都贡献给了数学教育.

“热爱学生、爱岗敬业、淡泊名利、勤于思考、不懈追求、勇于创新”是他一贯的信条.启发式的讲解、幽默的语言、严谨的治学态度,是他特有的教学风格.认识他的人,总是能被他乐观向上、充满活力的状态所感染.

他是国内最早把信息技术引入数学的教师之一.1994年,他的论文《从教学软件<数列的极限>引发的思考》发表后,曾引起轰动.在当时,包括北大的一些教授都对计算机辅助教学持怀疑态度.而这篇论文用翔实的案例说明,恰当地使用技术,即使对于“数列的极限”这样高度抽象的概念,也可以取得比传统手段更优的教学效果.

为了让更多数学教师从计算机辅助教学中受益,1999年他主编了国内第一本关于几何画板的书——《如何用几何画板教数学》,随后参与我国著名数学家张景中院士的团队,组织策划我国自主研制的《超级画板》实验研究项目.

老骥伏枥,志在千里.如今,他依然活跃在数学教育的舞台上,出版了《数学教育技术的应用与创新研究》、《少年数学实验》等书,致力于让中国的学生得到更好的数学教育.

数学教育的危机意识

作为迅速崛起的最大发展中国家,我们当前的数学教育存在危机吗?

2010年,一条关于教育的新闻引起了国际的广泛关注.那就是在国际学生的评估项目（PISA）中,我国上海学生在阅读、数学和科学素养三个方面的得分均排名世界第一,远远超过了美国（美国数学排名第12）.

这条新闻在国际上产生了冲击波.当时,美国的《纽约时报》发表了题为《上海的高分震惊教育界人士》的文章,说美国教育部部长阿恩·邓肯看到这个测验结果后发表讲话,称“我们必须当作警钟”.曾在里根政府时期教育部任职的切斯特·芬恩认为,上海学生高分带来的震撼让他想起了当年苏联第一颗人造卫星上天.

面对当今中国的崛起,美国时刻保持着警惕.美国人把一个国家的数学教育与这个国家的竞争实力紧密地联系在一起,他们对数学教育的危机意识应当引起我们思考.我们是否也把数学教育的重要性提到这个高度去认识呢?

研究科学史的学者发现,数学发达中心与经济发达中心在地理上总是相吻合的.当前,中国经济的迅速崛起,正呼唤先进的数学与数学教育改革的支撑.1988年,著名数学家陈省身曾经预言：中国在21世纪将成为一个数学大国.在已经进入到21世纪第13年的今天,我们的数学教育真的超过美国,居于世界前列了吗?我想,对此我们应该有清醒的认识,有自知之明,并应该以高度的历史使命感和社会责任感去思考这些问题.

在信息技术飞速发展的今天,我们不能无视技术对教育的影响.美国一篇题为《以乔布斯方式变革教育体制》的文章写道：“我们的孩子在史蒂夫·乔布斯的世界中长大.他们迫切希望学习,而且很快就能接受新技术.在课堂外,他们视技术为理所当然——就他们的读物而言,就他们听音乐和购物的方式而言.但一回到课堂,就好像时光倒流一般.”最近,网络上流传着一个题为《用计算机重塑数学教育》的TED演讲视频,演讲者ConradWolfram认为,目前的数学教育基本上没有人感到满意.学生觉得学习没有兴趣,困难重重,且所学知识与实际无关；而那些运用数学的人们又感到他们所学的知识远远不够；尽管政府认为这是涉及经济发展的大问题,却束手无策；教师们也为此感到沮丧.这就是当今数学教育的现实：一方面,我们逐渐丧失对数学教育的兴趣.另一方面,我们的世界比以往更加趋于数学化,现在的数学比人类历史上以往任何时候都更加重要.

反思我国教育的现状,不难发现我们的数学教育其实面临着同样深刻的危机.与国外学生比较,我国学生的数学学习负担更重.当我们讲实现中华民族伟大复兴的“中国梦”时,不能没有数学教育的危机意识和国际竞争意识.

信息技术与数学学科整合的尴尬

面对数学教育的危机,ConradWolfram认为,需要进行一场以计算机作为数学教育工具的改革,而恰当使用计算机是使数学教育变得有效的一剂良方.

其实,我国从2001年启动的基础教育改革也注意到了信息技术的作用.《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》中有这样一段话：“把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的强有力的工具,致力于改变学生的学习方式,使学生乐意并有更多的精力投入到现实的、探索性的数学活动中去.”

2001年至今,国家为教育信息化投入了大量资金,也已进行了10多年信息技术与学科的整合实践.但是,除了学校的硬件设施有了明显改善、教师的信息技能有了部分提高之外,对数学学科教学本身的影响并不大.有时技术甚至在帮倒忙.信息技术与数学学科整合陷入了尴尬境地.

当前的数学教育使用技术的误区之一是片面夸大多媒体的作用,以为信息技术就是多媒体,而多媒体又被解读为PPT,PPT成为数学教学中使用计算机最普遍的方式.但单纯使用PPT进行多媒体教学,显示出计算机在数学教学中的优势了吗?现实中,教师们对PPT的不当使用反而可能招致批评：本来常识性的简单问题通过使用计算机,反而变得愚蠢!再者,教师为上一节课,准备PPT课件还要花上许多时间和精力.数学教学和信息技术本末倒置,数学课堂为技术怎么写作,为体现教育技术理念怎么写作,这就造成了所谓的整合追求表面形式,华而不实.

究其原因,一是技术和数学学科教学的脱节,二是理论与数学教学实践的脱节.近十年来,教师们不断“被接受”最新的技术和“最时髦”的教育技术理论.先是多媒体,后是电子白板,现在又是等人们总是不断追赶着最先进的技术,但总感觉不解渴.信息技术与课程整合指导思想倡导“学与教的活动要在以多媒体和网络为基础的信息化环境中实施”、“多种刺激的同时作用,有利于激发学生的学习动机,有利于学生自主性学习”.“多种刺激”对数学教学真能有那么大的作用吗?我们逐渐发现,新的技术对于数学教学并不见得是迫切需要,时髦的理论也不见得切合实际.因此,要使信息技术有效用于数学教学,技术必须与学科需求结合起来,理论必须与学科实践结合起来.数学家的思考与数学教育技术

我想,ConradWolfram所开的一剂良方大概不会是PPT或电子白板,他依托的理论也不会是“多种刺激”理论.因为,他是既懂数学又懂计算机的.而我国著名的数学家和计算机专家吴文俊院士和张景中院士是这个领域的大家,他们的思考应当引起我们足够的重视.他们认为：从数学教学的需要开发软件,与不分学科地推广普适技术,是两种完全不同的思路.

计算机的作用应该是用计算机代替人的机械的、大量的、重复性的劳动.从数学教学的需要设计、开发软件,应该减轻教师重复性的劳动,提高他们的工作效率,让广大教师从中受益.早在20世纪70年代,吴院士就提出了数学机械化的思想,即让计算机更多地代替人的重复性、机械性的数学活动,提高科技活动的效率.

在吴老工作的基础上,张景中院士曾创造性地解决了初等几何证明的可视化问题,继而将研究成果转向怎么写作数学教育上.张院士认为,数学教师的日常教学工作离不开数学活动,经常需要做的工作是作图、计算或推理.教学中数学活动的主要目的是为了说明思想概念,阐述道理方法,指导操作训练.比起数学研究和工程技术,教学中要解决的数学问题通常要容易得多,但它要的不仅是最后的结果和数据,而且是生动明白的过程.数学机械化应该为数学教育提供这样的技术,即数学教育技术.国外的《几何画板》就属于这种技术.

“博采众长,自主创新,深入学科,注重实效”是张院士提出的我国教育信息化的思路.为此,他主持开发了《超级画板》.《超级画板》不仅具备《几何画板》的智能画图、动态测量、轨迹跟踪、图形变换、动态几何等功能,还提供了机器证明、数字计算、符号演算等功能,诸如一些复杂的分解因式、排列组合数的计算、求导数、求不定积分的运算.当那些枯燥的运算交给计算机之后,数学教学的重点应该更多转向概念的理解以及根据实际问题建立数学模型这些更有价值的活动上.

我们认为,不应把制作课件的繁复任务交给教师,教师的精力更应该放在钻研教材、研究学生和设计教学活动上.所以,除了这个智能工具箱,还应给教师提供可以直接使用的课件库.近年来,我们已为教师开发了上千个课件.就在不久前,张院士和我合作为初中学生写了《少年数学实验》一书,仅与本书配合的课件就有二百多个,读者可从网上免费下载.

一个数学智能工具箱、一个丰富的课件库,我们比ConradWolfram更进一步,用实实在在的数学教育技术支持数学教学的变革.

追寻顺应时怎么发表展的数学教育之梦

数学教育技术还包括在数学教学中使用技术的理论和策略.汽车司机的驾驶技术,表现在不同路况、气象条件和复杂情况下驾驭汽车的能力.数学教师的数学教育技术能力,则表现在面对不同程度的学生,处理几何、代数、概率统计等不同内容,以及概念教学、命题教学、习题教学等不同课型时,恰当借助计算机机智、有效地教学的能力.如何处理直观和抽象,如何处理实验和逻辑,如何处理动手和动脑、人脑和电脑,这在现行的师范院校有关教材教法的课本中并没有现成的答案,我们只能探索.下面,我提供几个典型的案例.

案例一：线段大小的比较

比较线段大小与角的大小是现实生活中常见的问题.我们固然可以用观察、测量等方法,但在数学上,我们却不满足于观察和目测.通过抽象和推理,几何发展出大量丰富的方法（如通过三角形全等、平行四边形的性质等）.从物理世界的线段和角抽象出几何中的线段和角,从原始概念导出几何中一系列后续概念,以少数的基本事实为基础推导出一系列定理,再利用这些概念和定理回过头来解决实际问题.这就是几何理性思维的特点.因此,用叠合法定义线段和角的相等,绝不是简单地介绍叠合法,而是为判定全等三角形的基本事实打基础.

教学设计片段：

师：线段大小的比较在现实生活中经常遇到,什么叫相等的两条线段呢?这似乎不成问题,两条线段一样长呗!可问题并不那么简单,现在考考你的眼力（如图1）.

图1

生：看来似乎AB长一些.

师：再看下面的图（如图2）,你还认为AB长吗?

图2

生：去掉了原来的四边形,现在看起来两条线段一样长了.

师：不错,看来有时我们的眼睛会和我们开玩笑.让我们用测量验证一下你的眼力.（现场测量）都是5.53cm,看来测量的数据证明你的眼力还是不错的.

学生很得意.

师：可是深一想,测量的结果准确吗?现在我们提高一下测量的精确度.

教师现场操作,提高测量精度,显示如图3.

图3

学生惊奇.

师：这说明测量有误差,看来凭测量还不能说这两条线段相等.关于什么是相等的线段这样一个看似平常的问题,其实并没有解决!怎么办?

学生讨论.

师：中国人应该很容易解决这个问题.我们吃饭常使用筷子,用的两根筷子是等长的吗?

生：把两个筷子戳到桌面上一比,不就知道了吗?

师：我们把这种方法叫叠合法.

教师演示后,在黑板上画出两条线段,用数学语言描述叠合法.

这仅是探索计算机用于几何教学入门课的一例.计算机的隐藏/显示功能、现场用不同精度测量的效果,激发了学生的学习兴趣,引发了学生的数学思考,最终得到两线段相等的形式化表述,为以后判定三角形全等的基本事实埋下伏笔.

案例二：函数的增减性

函数的增减性刻画的是函数的变化趋势,是函数最重要的性质.目前,初中一般的教学方法是先画出函数的图像,再观察图像的走向,指出函数的增减性.受教学手段的限制,当前的教学存在着严重的缺陷.例如,在讲解函数y等于ax2的单调性时,通常先画出函数图像,例如,然后对照图像指出：当a>0时,y等于ax2的图像在y轴右侧,向右上方无限伸展；在y轴左侧,向左上方无限伸展；因此,当x>0时,y随着自变量x的增大而增大,当x<0时,y随着自变量x的增大而减小.最后,教师总结函数图像与函数性质存在的关系.以上教学讲没讲道理呢大概没有谁会说这样的教学是不讲道理的.可是,我们只看到了形（函数图形）,并没有看到数的变化,“数形结合”并不明显！静态的图像并没有反映出函数值的变化,而借助信息技术可以很容易地实现这一点.例如,对于这个函数,如图4所示,从左至右拖动点x,P点以及该点的坐标随之发生变化,学生可以直观地在数形两方面体会到函数的增减性.

图4

由于屏幕仅反映了图像很有限的一部分,当自变量继续取很大数值时,函数值怎样变化呢?我们可以通过变量尺,观察自变量取很大的数值时函数值的变化情况（如图5）.这是用传统教学手段不可能达到的效果.

图5

上面的教学用直观的方式将猜想的结论告知给了学生.其实,描出有限几个点并不能概括函数图形的全貌.图6是同一个函数图像的两幅图,第一幅图仅仅是第二幅图的一部分.

图6

可是,我们总不能把整体的函数图像画出来.既然如此,难道一次函数和二次函数的图像就不会出现上述情况?为证实猜想的正确性,最终必须补充严谨的逻辑证明.

证明：取自变量大于0的任意两个值x1、x2,设x2>x1,这样当自变量先取x1,后取x2,如果能证明对应的函数值y2>y1,就说明函数值随着自变量增大而增加.

事实上,y2_y1等于a（x22_x21）等于a（x2_x1）（x2+x1）,由于x2>x1>0,所以x2_x1>0,x2+x1>0,当a>0时,有y2_y1等于a（x2_x1）（x2+x1）>0,这就证明了y2>y1.我们用逻辑补充了直观的不足.

反思当前的教学,直观与逻辑都显得不足,缺少了一些数学理性思维的味道.而计算机使这一内容的教学呈现了全新的面貌.

案例三：初识混沌

问题：面包师把1尺长的生面条拉长成2尺,从中点切断,然后把右半段左移重合到左半段上,原来在生面条上距左端点为x的一粒黑芝麻移动到何处是唯一确定的.如此重复上述简单的确定动作,n轮之后,这粒黑芝麻在哪里?

对于这个实际问题,第一步是建立抻面的数学模型,再进行计算.设原来在生面条上黑芝麻距左端点为x,经过一次抻面,芝麻距离左端y处,则它们之间的关系可以表示为：

同样地,对1尺长的生面条进行第二轮的拉伸、左移、重合,那粒黑芝麻距离左端点多远,当然还是可以用上述分段函数唯一确定,只是这次的自变量被上一次的y替代.如此继续下去,我们可以重复迭代的过程.

方法明确了,接下来是计算,让我们在超级画板中编制一个用条件语句计算分段函数的小程序,再利用它计算函数值.先计算f（1）,然后不断反复将其值代入上式进行计算,计算的结果总是1.这说明那粒黑芝麻如果原来位于生面条的右端,那么不管怎样拉伸、左移、重合,它还在面条的右端.

现检测设那粒黑芝麻如果原来距离生面条左端处（注意：很靠近右端）,然后计算,之后不断重复,将其值代入上式进行计算.结果我们发现,尽管初值相差不多,但后者从第10项开始以后的各项都为零.这说明经过10轮的动作,那粒黑芝总处于面条的左端.既然在这么靠近面条右端的点放置的黑芝麻最后“落户”在面条的左端,这促使我们思考在更靠近右端的位置是否还有这样的点.例如,在开始距离生面条左端（n是正整数）的点,是否都具有类似的性质?

我们当然可以利用这个小程序进行计算以验证猜想,但我们不愿意进行多次重复性的操作,这不仅浪费时间,且意义不大.理想的是,在给定初值x和迭代的次数n之后,能马上计算出相应的函数值,这将极大提高数学实验的效率.其实,在这个小程序的基础上加入循环语句,就可以将这个小程序加以改进,从而更方便地验证我们的猜想.学生由此可以实实在在地感受到,这个简单的递推关系确定的数列对初始条件的极端敏感性,哪怕初始值一个极微小的变化,都可以引起数列本身长期形态的大的变化,这正是所谓混沌的实质表现之一.

此外,我们自然想到,如果初值取其他的数值,情况又会怎样呢?利用这个小程序把初值改为、、等,我们将获得一些非常有趣的结果,从中享受数学实验的乐趣.计算机提供的数学实验室,有助于我们深入地认识混沌现象.

以上三个案例说明,我们可以借助计算机重塑数学教育.在结束本文写作之时,刚送来的《参考消息》的一篇文章标题《3D打印技术或开启新工业革命》顿时抓住了我的眼球.文章说：有专家认为,这项技术或许具有蒸汽机或那样的划时代意义,很可能预示着新的工业革命.这更突出了用计算机变革数学教育的紧迫性.希望更多同仁与我们一起追寻顺应时怎么发表展的数学教育之梦.

我们必须抓紧,让梦想尽快变为现实.

（作者单位：北京大学附属中学）