函数的性质

摘 要：函数的单调性是函数重要的性质之一,通过例题来探讨学习它的方法技巧,注重函数单调性的定义、运算性质、图象及其他知识的综合运用.

关 键 词：单调函数；单调区间；复合函数

单调函数的定义：设函数f（x）的定义域为l,如果对于定义域l内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2当x1f（x2）,那么就说函数f（x）在区间D上是减函数.

由定义知单调性是与区间紧密相关的概念,一个函数在不同的区间上,可以有不同的单调性.

如果函数y等于f（x）在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数y等于f（x）在这一区间具有（严格的）单调性,区间D叫做函数y等于f（x）的单调区间.

函数的单调性是函数重要的性质之一,下面通过几个例题来探讨学习它的方法技巧.

一、利用定义严格判断

函数f（x）在区间[-1,0]上的图象是连续曲线,方程f（x）等于0在区间[-1,0]上有实数根.

又∵函数g（x）等于3x,h（x）等于-x2在区间[-1,0]上都是增函数,

f（x）等于g（x）+h（x）,

∴函数f（x）在区间[-1,0]上是增函数,

∴方程f（x）等于0在区间[-1,0]上只有一个实数根.

三、利用复合函数关系判断单调性

对于复合函数y等于f[g（x）],若t等于g（x）在区间（a,b）上是单调增（减）函数,且y等于f（t）在区间[g（a）,g（b）]或者[g（b）,g（a）]上是单调函数,那么复合函数y等于f[g（x）]在区间（a,b）上的单调性满足“同增异减”的法则,即两个简单函数的单调性相同,则这两个函数的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反,则这两个函数的复合函数为减函数.实施该法则时首先应考虑函数的定义域.

四、导数法

因此,由上表知f（x）的单调递增区间是（-∞,-1）与（0,+∞）；单调递减区间是（-1,0）.

（2）f（x）等于x（ex-1）-ax2等于x（ex-1-ax）；令g（x）等于ex-1-ax,则g′（x）等于ex-a.

①当a≤1时,g′（x）>0,g（x）为增函数,x∈（0,+∞）时,而g（0）等于0,

所以当x≥0时,g（x）≥0,即f（x）≥0.

②当a>1,x∈（0,lna）时,g′（x）<0,g（x）为减函数,而g（0）=0.

所以当x∈（0,lna）时g（x）<0,即f（x）<0.

综上所述得A的取值范围为（-∞,1].

五、图象法

函数单调性除了定义描述外,还可以从图形上描述,对于给定区间上的函数f（x）,函数图象如从左向右连续上升,则称函数在该区间上单调递增,导函数f′（x）<0；函数图象如从左向右连续下降,则称函数在该区间上单调递减,导函数f′（x）<0.

函数的单调性是函数的重要性质之一,函数的单调性在比较大小、证明不等式、解不等式、求最值、求值域及实际问题中都有广泛的应用.

（作者单位湖北省武汉音乐学院附中）