识破与***不等式恒成立问题

一、给你一双慧眼,让你识破不等式恒成立问题

不等式恒成立问题往往难度较大,综合性较强,涉及的知识面广,常与函数、函数的图像与性质紧密联系,着重考查学生分析问题与解决问题的能力,同时考查学生对转化思想的灵活运用.在解题过程中,我们遇到的不等式恒成立问题通常有“隐性的”与“显性的”两种.“显性的”是指在题目的条件中有“恒成立”三个字,而“隐性的”是指在题目的条件中没有“恒成立”三个字.那么,对于“隐性的”我们又如何来识破呢?其实,我们只要抓住恒成立问题与全称判断之间的联系,在审题过程中抓住全称量词仔细考虑即可.“隐性的”恒成立问题往往会在条件中出现“所有的”“全部的”“任意的”“一切的”“总有”“都有”等字样.

例1已知二次函数f（x）等于ax2+x（a∈R,a≠0）,若x∈[0,1]时,总有|f（x）|≤1,求a的取值范围.

难度系数0.65

分析本题可以先去掉绝对值符号,然后将原问题转化为不等式组的恒成立问题,进而转化为函数的最值问题来解答.

小结此类问题我们可将所求变量与其他变量分离开,通过研究式中另外一个变量的已知范围,来确定所求变量的范围.若所求变量为a,则a>f（x）恒成立?圳a>fmax（x）,a

二、给你五种基本策略,让你不等式恒成立问题

策略一：二次函数在实数集上的判别式策略

对于一元二次函数f（x）等于ax2+bx+c（a≠0,x∈R）,有：

①f（x）>0在x∈R上恒成立?圳a>0且Δ<0；

②f（x）<0在x∈R上恒成立圳a<0且Δ<0.

例2已知关于x的不等式x2-ax+2a>0在R上恒成立,则实数a的取值范围是.

难度系数0.85

分析本题是二次函数在实数集上的恒成立问题,我们可利用判别式法来求解.

解由于已知不等式恒成立,所以有Δ<0,即a2-4·2a<0,解得0小结本题主要考查一元二次不等式与二次函数的图像、性质之间的关系,难度较小,属于容易题.

策略二：变量易分离的函数最值策略

在不等式中求参数的取值范围过程中,当不等式中的参数能够与其他变量完全分离出来,并且分离后不等式其中一边的函数的最值或范围可求时,我们常用分离参数法求解.此类问题可把要求的参变量分离出来,单独放在不等式的一侧,将另一侧看成新函数,于是将问题转化成新函数的最值问题.若对于x的取值范围内的任意一个数,都有f（x）≥g（a）恒成立,则g（a）≤fmin（x）；若对于x的取值范围内的任意一个数,都有f（x）≤g（a）恒成立,则g（a）≥fmax（x）.

例3若不等式|x+1|+|x-2|>a对任意x∈R恒成立,则实数a的取值范围是.

难度系数0.67

分析先确定|x+1|+|x-2|的取值范围,即只要a不大于|x+1|+|x-2|的最小值即可.

解当x≤-1时,|x+1|+|x-2|等于-x-1-x+2等于-2x+1≥3；当-12时,|x+1|+|x-2|等于x+1+x-2等于2x-1>3.

综上可知,|x+1|+|x-2|>a成立只要a<3即可,即实数a的取值范围是（-∞,3）.

小结此类问题属于变量已经分离的不等式恒成立问题,主要考查绝对值函数,即分段函数最值的求法,考查分类讨论的数学思想.

策略三：变量难分离的函数最值策略

在不等式中求参数的取值范围过程中,当不等式中的参数很难与其他变量完全分离出来,或者能够分离但分离后的函数最值很难求出,此时我们常常直接求含参数的函数式的最值.

例4设函数f（x）等于a2lnx-x2+ax,a>0.

（1）求f（x）的单调区间；

（2）求所有实数a,使e-1≤f（x）≤e2对x∈[1,e]恒成立.（e为自然对数的底数）

难度系数0.63

分析本题函数表达式中的参数a很难分离出来,因此我们可以直接利用f（x）在x∈[1,e]上的单调性求函数的最值.

小结本题主要考查函数的单调性、导数的运算法则、导数的应用等基础知识,考查函数最值的求法,同时考查抽象概括、推理论证的能力.

策略四：字母多而烦,选定主元也不难策略

在解决不等式的恒成立问题时,一种最重要的思想方法就是构造适当的新函数,然后利用相关函数的图像和性质解决问题,同时注意在一个含有多个变量的数学问题中,我们需要选定一个新的自变量作为主元构造函数,从而揭示新的函数关系,使问题更加清晰、明了.一般来说,我们将已知存在范围的量视为变量,而待求范围的量视为参数.

小结本题考查多参变量的不等式恒成立问题.本题含有x,t,λ三个变量,我们可以逐步选定主元,将其转化为不同主元的函数最值进行求解.本题首先选定x为主元,求出关于x的函数的最值,其次选定λ为主元,求出关于λ的函数的最值,进而求得参数t的取值范围.本题还考查学生的综合能力与等价转化思想.

策略五：思路不明画图形的数形结合策略

如果不等式中涉及的函数或代数式对应的图像、图形较易画出时,我们可通过图像、图形的位置关系建立不等式,从而求得参数的取值范围.

例6已知函数y等于f（x）等于3x+6,x≥-2,-6-3x,x<-2,若不等式f（x）≥2x-m恒成立,则实数m的取值范围是.

难度系数0.70

分析不等式问题经常要结合函数的图像来解决,根据不等式量的特点,选择适当的两个函数,利用函数图像的上下位置关系确定参数的取值范围.利用数形结合解决不等式问题的关键是构造函数,要求准确作出函数的图像.

解在同一个平面直角坐标系中分别作出函数y等于2x-m及y等于f（x）的图像,如图所示.由于不等式f（x）≥2x-m恒成立,所以函数y等于2x-m的图像应总在函数y等于f（x）的图像的下方.于是当x等于-2时,y等于-4-m≤0,解得m≥-4.故实数m的取值范围是[-4,+∞）.

小结本题是数形结合思想中的“形”中觅“数”与“数”上构“形”的充分体现.由表达式的结构特征,我们能联系到用其几何意义去处理.

莫顺清,中学数学高级教师,教科室主任,湘西州中、高级职称评委,湘西州第一、第二届高中数学学科带头人,湖南省中学数学教学专业委员会会员,湖南省教育学会教育科学规划与管理专业委员会理事,全国教育科学“十一五”规划课题先进工作者.近年来参加或主持国家级、省级、州级课题多项.长期执教高三毕业班,对新课标高考深有研究,10余篇数学专业文章在省级以上数学期刊发表.

（责任编校?筑周峰）