多元表征与早期儿童的数学学习

编者按：教育部人文社会科学规划项目“多元表征在学前儿童数学学习中的应用研究”历时已3年,分为基础理论研究和行动研究两部分.基础理论研究的主要内容是对学前儿童数学教育领域中的多元表征概念进行界定和梳理,并通过情景性测查,探究4-6岁儿童数学学习中的多元表征及其发展特点.研究证实,学前儿童在数学学习中已具有初步的多元表征能力,并呈现出一定的年龄发展特征.行动研究的主要目的是为了更好地将现代数学教育理念及多元表征的数学学习策略应用于幼儿园数学教育实践中.行动研究围绕两大问题展开,即教师如何在区角活动中创设多元表征的数学学习环境和投放相应的材料以及如何进行个别化指导,教师如何在集体教学活动中运用能促进幼儿多元表征能力发展的组织策略.本期刊发的系列文章是行动研究的部分成果.

自20世纪90年代以来.有关多元表征的研究已成为认知科学、教育等领域的热点,数学学习中的多元表征研究也成了国际数学教育研究的重要内容.数学学习中的多元表征主要是指,对同一个数学对象至少可以用“数”和“形”两类表征的多种形式进行表征.目前,在数学教育领域中,对于多元表征虽没有统一的概念界定.但其基本含义与认知心理学、教育心理学领域研究中的表述基本一致,即是指对同一个数学学习对象用叙述性表征（如口语、书面语言、数学公式等）和描绘性表征（如图片、图画、数学模型、各种表情、动作等）两类本质不同的表征的多种形式进行表征.数学本身的特征决定了数学的表征形式是丰富多样的,布鲁纳（Bruner）从思维发展的角度将数学中的表征分为活动性表征、图像性表征和符号性表征；我国学者徐斌艳从数学教学的角度将数学中的表征分为形式化表征、图像化表征、动作化表征和语言化表征；勒什（Lesh）从表征在数学学习中的交流和认知作用的角度将数学中的表征分为实物情境表征、教具模型表征、图形或图表表征、口语表征和书面符号表征.

一、多元表征是儿童数学能力和认知发展的核心要素之一

儿童早期数学学习的内容一般包括数、量、形等方面,但早期数学学习的主要价值并不在于让儿童获得数学的相关知识,而是在于引发儿童对于数学的兴趣和探究欲,并促进其数学思维和数学能力的发展.全美数学教师协会（NCTM）于2002年发布的《学校数学的原则和标准》中第一次提出了2～5岁儿童数学教育的内容和能力标准,其中明确指出学前儿童数学学习的过程性能力包含五个方面,即问题解决、推理与证明、交流、联系和表征.在表征方面,要求儿童能运用多种表征的手段来表达数学的概念,能运用不同的表征方式来解决问题以及演示与解释物质的、社会的和数学的现象.对于学前儿童而言,数学表征的不同方式与勒什的分类比较相符,即实物情境表征、教具模型表征、图形或图表表征、口语表征、书面符号表征.

近年来,作为新皮亚杰学派的代表,格里芬（sharonGriffin）和凯斯（RobbieCase）等人提出了儿童数概念发展过程中的数概念结构,并发展了一套“NumberWorlds”课程.该课程通过让幼儿理解计数、量和表征符号来帮助幼儿构建三者之间的联系,使幼儿获得关于数的陈述性知识和程序性知识.该课程强调让幼儿充分感知社会中数的各种表征形式,并按从易到难的顺序将其表述为：实物表征（ObjectLand）、图片表征（PictureLand）、排列表征（LineLand）、高度表征（SkyLand）和循环表征（CircleLand）.这五种表征形式体现了数概念从实物表征的数量→图片表征的数量→数序符号表征的数量（横向的→纵向的→环形的）的递进过程.教师可通过具体的、针对不同年龄儿童发展水平的游戏和教学活动帮助儿童加深对数量概念的理解.可见,表征和多元表征不仅是判断儿童数学思维的重要指标,也是儿童数学学习的核心能力之一.

二、多元表征有助于儿童具体、深入地理解数学概念

英国数学教育家迪恩斯（Di—cs）在上世纪60年代就明确提出了儿童数学学习的“多元具体化原则”.Dienes认为,儿童是可以通过玩数学游戏学到数学知识、发现数学结构的,这些游戏的对象就是数学学习对象的多元具体化表征,游戏规则蕴含了数学规律或关系.在大量实验的基础上,Dienes提炼出数学学习的四大原则,即动态原则、知觉变式原则、数学变式原则和建构原则.其中,知觉变式原则（ThePerceptualVariability）也就是多元具体化原则,是指提供给儿童表征某一数学学习对象的具体实物模型或物理情境的各种变式.这样,一方面可以满足不同认知风格的儿童的需要,另一方面可以帮助儿童从多种具体模型中抽象出数学结构.事实上,在幼儿园数学教学活动的组织中,当教师通过多种形式将某一个数或形的概念呈现给儿童,即运用不同的变式让儿童感知和操作时,儿童对相应概念的理解就会更具体、更牢固.例如,对于“三角形”的认知,教师不能仅仅将其作为一个名称或者标准的图形让儿童去认识,而是应当让儿童接触和感知三角形的实物、积木、图案、图形,并鼓励儿童用不同的材料拼搭、组合出各种三角形的图示.只有这样,才能使儿童读三角形的认知更本质、更抽象、更牢固,才能促使儿童把当前情境中获得的数学知识迁移和运用到其他学习情境中去.

为了印证多元表征对早期儿童数学认知的促进作用,我们课题组还在两个幼儿园的平行班中进行了为期一年的跟踪对比研究.结果发现,两个实验班儿童的多元表征能力的提升明显超过两个对照班.可见,促进儿童多元表征能力的学习环境和教学干预对儿童的数学认知有积极的影响.教师为儿童创设有利于其多元表征的学习环境,如在数概念和运算的学习活动中为幼儿提供从具体实物一模型教具→图形→符号（口头和书而）的材料；在模式的识别、扩展和创造的学习活动中,为幼儿提供多种类型的模式感知材料,能够有效地帮助儿童在多种表征形式的转换中加深对数学相关概念的理解和建构,有助于儿童加深对概念的具体化、深入性理解.

三、多元表征有益于提高儿童思维的发散性、灵活性

虽然多元表征是考察儿童数学认知发展的重要能力指标,但在以往的数学学习中关于多元表征的认知功能、影响机制及教学效果的相关研究多聚焦在中小学阶段的儿童,很少涉及学前儿童.为了进一步探究学前儿童数学认知中的多元表征及发展特点和类型.我们课题组采用个别面试和口语报告相结合的方法,以数概念、数运算和模式三个子维度为考查内容,对4～6岁儿童的多元表征能力进行了探究,结果发现：（1）4～6岁儿童已具备初步的数、数运算、模式的多元表征能力,且随着年龄的增加而增加.其中数的多元表征能力最好,其次为数运算,再次为模式.（2）4～6岁儿童在数的多元表征中未出现明显的年龄差异与性别差异.儿童使用的表征形式的数量存在年龄差异,随着年龄的增加,儿童使用的表征形式的数量也随之增加.（3）4-6岁儿童的模式的多元表征发展未出现明显的年龄差异与性别差异.儿童使用的表征形式在数量上存在年龄差异,随着年龄的增加,儿童使用的表征形式的数量随之增加.（4）4-6岁儿童在数、数运算与模式的多元表征中更倾向于使用描绘性表征中的实物情境表征与教具模型表征.（5）4-6岁儿童数的多元表征能力与数运算的多元表征能力之间存在显著的正向相关,数运算与模式多元表征能力之间也存在一定的相关.总之,儿童早期已经具备了一定的数学表征能力和初步的多元表征能力,且这种能力会随着年龄的增长表现出渐进发展的趋势.

我们的研究主要基于儿童的个别测查和口头报告,这为了解儿童表征的年龄特点、表征类型的取向、表征中的错误或困难等问题积累了不少个案,同时,在如何创设促进儿童多元表征的学习环境以及支持儿童多元表征的教学策略的研究目标指引下,基于幼儿园集体教学和区角活动为主要形式的大量案例中也充分显示出了多元表征对于儿童数学学习的价值和意义（具体案例中所涉及的儿童表现可以详细参阅以下几篇文章）.由此可见,多元表征不仅能够帮助儿童加深对数学相关概念的理解和表达,也有助于提高儿童通过运用多元表征的方式来解决数学问题以及演示和解释数学现象的能力；多种表征形式间的转换和迁移有助于培养儿童思维的发散性、灵活性,也有助于儿童良好的数学思维品质的养成和发展.