坎迪定理的有趣拓广的评析引

贵刊2012年第10期刊登了《坎迪定理的有趣拓广》[1]一文,对坎迪定理作了有趣的拓广,读后颇有启发,笔者认为文[1]没有作出实质性的拓广,本文将在高等几何理论的指导下,对文[1]作出评析及引申,供读者参考.

1评析

拓广2如图1,在凸四边形ACBD中,对角线AB、CD交于点M,过点M任作两条直线,分别交直线AD、AC、BC、BD于E、G、F、H,EG、FH分别交AB于P、Q,记MA等于a,MB等于b,MP等于x,MQ等于y,则1a-1b等于1x-1y.

评析图2为坎迪定理的基本图形,图1、图2的区别仅仅在于三线段AB、GH、EF的端点的“外包”一个是凸四边形ACBD,一个是圆锥曲线,那么,两者之间到底有何关系呢?这一点,用高等几何中的巴斯卡定理和逆定理是容易回答的.

图1图2注意图1,因为六点形ABHGEF的三对对边AE、BH、AG、BF、GH、EF的交点D、C、M在一条直线上,故由巴斯卡定理的逆定理可知,这个六点形的六个顶点A、B、H、G、E、F在一条圆锥曲线上.要是将这条圆锥曲线画上,那么,图1就转化为图2了.由此看来,拓广2实质上就是坎迪定理隐去了圆锥曲线,即坎迪定理本身,并不是坎迪定理在凸四边形中的拓广.拓广3只不过是在拓广1隐去了圆锥曲线的背景后的一种演化（坎迪定理更广义的形式）,并不是在凸四边形中的引申.

2引申

在图2中,由巴斯卡定理可知,圆锥曲线的内接六点形ABHGEF的三对对边AE、BH、AG、BF、GH、EF的交点C、D、M必在一直线上（巴斯卡线）,我们若把四边形ACBD作上（隐去圆锥曲线）,那么,图2有可能是图1的形状,但也有可能呈现别的形状,如象图3、图4、图5等等（在图4中,AG与BF的交点C是无穷远点,即有AG∥BF∥DM）.由图3知,如四边形为凹四边形结论仍然成立,图4、图5又启示我们可作出如下的引申：