网站原创摘 要：鉴于初中数学习题的多样性,本文从初中数学典型题的研究出发,对初中数学习题进行了研究.本文主要以二次函数为研究中心,采用文献分析等研究方法,对典型例题进行剖析,从而归类梳理并总结方法.
关 键 词：初中数学；典型题；思想方法；二次函数
中图分类号：O177.3文献标志码：A文章编号：1674-9324（2014）16-0101-02
实践表明,学生通过理解数学问题之后,首先要判别问题的所属类型,确定该问题所涉及的认知经验结构系统,以便与现有的知识经验发生联系,人的思维依赖于必要的知识和经验,数学知识正是数学解题思维活动的出发点与凭借.解题研究的一代宗师波利亚[1]说过：充足组织良好的知识仓库是一个解题者的重要资本.由于初中数学习题是多样的.因此从某种意义上来说,对初中数学的研究,可以从对初中数学典型题的研究出发,例如：研究典型题的问题结构、数学思想方法、解题思路、应用到的知识点、知识与知识之间的联系等.这样可以有助于我们深入理解学生在解题过程中的心理活动[2,3],从而为学生高效解题提供基本依据和保障.二次函数问题在中学数学中占有重要地位[4],对其进行总结梳理、系统研究,最大的受益者莫过于考生,这样的分析可以让考生们更全面地了解二次函数的性质和特点,同时更清晰地掌握各类问题的解题方法,对考生们数学思维的培养也会有一定的帮助,能够较大程度地提高他们的解题能力与学习效率；对于教师来说,可以将研究成果用来指导学生参加中考,甚至对于命题者来说,这些成果可以为他们的命题工作给以帮助.中考是被人们广泛关注的,也是考生们足够重视的.而二次函数在中考中有着重要的地位,现有的研究资料虽多却散.本文在前人研究的基础上,结合自身的学习与实践,对历年各地以及各届中考数学题中的二次函数问题进行分析归类；并针对典型题进行解法的总结,从而使学生解题能够高效.
一、主要研究结果与分析
本文主要以分析法为主,归类整理,分析比较,通过典型例题总结解题方法并拓展启发思维.通过研究,笔者认为对于初中数学题的解题思路分析,主要应该采取如下五个步骤.
1.审题.无论遇到什么类型的问题,审题是最关键的一步.审题就是要准确地认清题目的条件,目标及其状态,全面识别信息,并把握目标方向和具备的状态,为解题方案的探索与确定提供必要的信息和灵感.
2.创设情境,调动思维的积极性.在认真审题之后,还需要创设问题情境,用以启发我们的灵感,调动我们思维的积极性,从而为解题的进一步深化和目标实现准备良好的心理条件.在百思不得其解的时候,不妨经常提醒自己,是否已将题目认真读过多遍?条件是什么?结论是什么?已知量是什么?未知量是什么?可以联想到什么或者还能推导出什么结果来?隐含条件挖掘完了吗?等等.通过这样不断设问,再根据设问去思考,也许有一问会触动我们的神经,诱发出灵感.
3.设计解题方案.一个正确的解题途径,一条清晰的解题思路的形成过程是比较复杂的,它需要具有较强的基础知识,丰富的解题经验和解题能力.分析解题思路,寻求解题途径,把所面临的问题逐步靠拢和转化为熟悉的问题,然后利用已知的理论、方法和技巧,实现问题的解决.
4.解题.在解题过程中,经过认真审题、探明解题途径、确定解题方法、明确解题思路后,还要进一步达到正确、合理、简捷、清楚,完美地表达出问题的解决过程,这就要求理顺思路,有理有据地按照逻辑规律由已知条件出发,逐步推演,转化,进行有序、正确的推理,建立起已知到结果的清楚、简明、完善的通路,实现问题解决.
5.回顾与探索,检验与深化.解完题后,要重视回顾与探讨,分析与研究,要对解题的结果和解题的方法进行反省,对解题中的主要思想观点,关键因素及类同问题的解法进行概括、推广,从中提炼出数学的基本思想和基本方法加以总结,成为以后解决问题的工具,还要重视对结果进行检验,推理是否有据、解答是否详尽无漏等.
二、二次函数的典型题分析
二次函数是初中阶段所学的有关函数知识的重点内容之一,这部分内容是继八年级下期所学的函数部分内容的深入与延伸；是今后后续学习其他初等函数的基础,因此,这部分对学生学习函数内容有着承上启下的作用,对培养和提高学生用函数模型（函数思想）来解决实际问题,逐步提高分析问题,解决问题的能力有着一定的作用.下面通过一道中考典型题的解题分析,来说明如何从典型题提炼解题技巧,从而培养学生分析问题和解决问题的能力.
例题（2010年甘肃省9市联考中考数学试卷第26题）：如图,抛物线与x轴交于A（-1,0）、B（3,0）两点,与y轴交于点C（0,-3）,设抛物线的顶点为D.（1）求该抛物线的解析式与顶点的坐标；（2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形吗?为什么?（3）探究坐标轴上是否存在点P,使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似?若存在,请指出符合条件的点P的位置,并直接写出点P的坐标；若不存在,请说明理由.
解题分析：本题以抛物线为中心,结合坐标轴,并给出A、B、C三点的坐标.
（1）求的是抛物线的解析式和顶点坐标,由此我们便很快联想到待定系数法设y等于ax2+bx+c（a≠0）求其方程,再根据顶点坐标公式-,求点D坐标.这个非常简单.当然点D的坐标,我们也可以用数形结合的方法求对称轴x等于等于1,再将x等于1代入抛物线中,得出y等于-4.顶点D的坐标为（1,-4）.
（2）是几何问题,判断以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形吗?此题给的是点的坐标,没有给出具体的角度,因此我们可以考虑线段长度之间的关系,这里需要我们进行转化,将几何问题转化为代数问题,所以联想到了勾股定理.判断结果：以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形.具体做法：过点D分别做x轴、y轴的垂线,垂足分别为E、F,经过计算得到BC2+CD2等于BD2,所以△BCD为直角三角形.（3）属于存在性问题,坐标轴上是否存在点P,使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似?这就需要我们从脑海中提取出基础知识,三角形相似应该满足什么条件,接着再去研究看看满足条件的点是否唯一.研究看似不算太难,但是在解决这类问题时,容易漏解,所以我们应该学会分类讨论,按照P点的不同位置进行分类,进而去解决问题.连接AC,可知Rt△COA～Rt△BCD,得符合条件的点O（0,0）.过A作AP1⊥AC交y轴正半轴与P1,可知Rt△CAP1～Rt△COA～Rt△BCD,求得符合条件的点为P1（0,）；再过C作CP2⊥AC交x轴正半轴于P2,可知Rt△P2CA～Rt△COA～Rt△BCD,求得符合条件的点为P2（9,0）；所以符合条件的点有3个：O（0,0）,P1（0,）,P2（9,0）.
总结：此题为二次函数与相似的运动综合题,运动问题既考查运算能力又考查推理能力,因其灵活多变性广受欢迎,几乎所有的中考中都涉及,此类题可以考查等边三角形、平行四边形、等腰梯形、相似三角形、圆以及二次函数最值等几乎所有知识,解决的策略是“动中取静”,找出运动中不变的元素,建立等量关系等.本题体现了数形结合的思想、转化的思想（几何问题转化为代数问题）、分类讨论的思想（按照位置的不同分类）,灵活运用这些数学思想是解决本题的关键.
本文通过实例阐明了求二次函数解析式的一般方法,并且举出了二次函数综合题的典型例题,并且举一反三,同时对各题进行解析与分析、思路讲解、总结解题方法.典型题中蕴含着许多的知识点,通过对典型题的研究可以让同学们更深层次的理解和消化知识,并达到举一反三、触类旁通的效果.对典型题进行研究是学好数学的重要方法之一,这将有助于同学们思维能力的训练.所以典型题的研究对中学教学而言是十分必要的.