在大学数学教学中渗透数学建模思想的策略

摘 要：本文作者结合自身的教学实践,介绍了对在大学数学教学中渗透数学建模思想的策略进行研究的必要性,以及在大学数学教学中渗透数学建模思想的具体做法：在概念教学、公式定理证明、实际应用,以及作业与练习中渗透数学建模思想.

关 键 词：大学数学教学数学建模思想渗透策略

一、引言

20世纪以前,数学主要分为算术、代数、几何和分析等几门经典学科.恩格斯在他的《自然辩证法》中论述说：“数学的应用：在刚体力学中是绝对的,在气体力学中是近似的,在液体力学中已经比较困难了；在物理学中是实验性的和相对的；在化学中是最简单的一次方程；在生物学中等于零.”20世纪以后,这种状况发生了根本性的变化,数学以她前所未有的广度和深度向其他科学与技术领域渗透,使得数学的应用范围迅速扩大,正向粒子物理学、计算机科学、生物生命科学、航天技术,以及地质勘探学等领域进军.国际上一位学者曾经指出：“高技术本质上是数学技术.”21世纪将是科学和工程数学化的世纪.然而,利用数学解决实际科技问题,首先要进行的工作就是建立数学模型,然后才能在此基础上运用数学理论和方法对实际科技问题进行求解、分析和研究,从而得到相应结论,再返回去解决现实的科技问题.所谓数学模型就是自然或社会现象的某些特征的本质的数学描述.而建立数学模型的过程便是数学建模.由此可见,数学建模是应用数学理论和方法去解决实际科技问题的重要手段和桥梁.因此,在大学数学教学中渗透数学建模思想对培养学生的应用意识和创新技能是非常重要的,也是一种极为重要的教学模式.虽然数学建模及其思想的研究已经引起了许多学者的注意,并且取得了十分丰富的成果[1-8],相继编著出版了多部数学建模教材[9-12],然而,在大学数学教学中对于如何渗透数学建模思想,其策略有哪些的研究却很少,具体可操作的案例就更少[13-16].笔者多年指导大学生参加全国大学生数学建模竞赛[11],曾多次获得国家奖和江西省一等奖,并对在大学数学教学中渗透数学建模思想的策略有了新的认识,下面谈谈自己的想法与做法.

二、在大学数学教学中渗透数学建模思想的策略

著名数学家怀特海曾说：“数学就是对于模式的研究.”大学数学中的所有概念都有它的现实原型；所有公式定理都是一些具体的数学模型的抽象.大学数学教学本质上就是要让大学生理解这些现实原型和数学模型,从而掌握相应的数学概念和公式定理.因此,我们在大学数学教学中渗透数学建模思想主要采用了以下四种策略.

首先,在概念教学中渗透数学建模思想.大学数学中的很多概念都是非常抽象的,如：极限、导数、不定积分和定积分等.传统的教学策略是对所有专业千篇一律的讲授同样的数学理论；笔者则主张分专业,结合专业实际,先给问题,再建立数学模型并努力解决问题,最后抽象出数学概念.如：在工科专业讲授极限定义时,笔者先给出与专业有关的实际问题：求半径为r的圆的面积S；再建立数学模型并解决问题：用正多边形去逼近圆形,发现正多边形的边数越多,边长就越短,近似效果就越好,正多边形的边数n越大,正多边形的面积S就越接近于圆的面积S,当边数n无限增大时,正n边形的面积S就无限接近于圆的面积S；最后抽象出数学概念：设{x}为一数列,如果存在常数a,对任意给定正数ε（不论它多么小）,总存在正整数N,使得当n>N时,不等式|x-a|<ε都成立,那么就称常数a是数列{x}的极限.同样的内容在经贸专业可以这样讲授：晚上,当你走在马路上,会发现你的影子时长时短,当你从任何方向走近路灯时,你的影子都会随着你与路灯距离的接近而越来越短,这种现象反映到数学上就称为极限.又如在给中文专业的学生讲授极限概念时,可以介绍我国古代关于极限的例子：“一尺之槌,日取其半,永世不竭.”

其次,在定理公式证明中渗透数学建模思想.由于高校大学数学课时数有限,传统的教学策略是要求学生直接记忆大量定理和公式,造成学生对这些定理和公式很难理解,这样的效果非常不好.实际上,定理和公式都有它实际的自然背景或间接的相关背景,经过抽象之后成为了定理和公式.笔者认为,有效的教学策略应该是：结合数学建模的思想方法,把定理和公式的条件看做是模型检测设,根据预先设置的问题情境,引导学生逐步发现这些定理和公式,而不是单纯的记住它们.这样做,不但使学生学到知识,而且让他们体验到探索、发现和创造的过程,让学生产生成就感；同时也让学生对学习产生兴趣.例如：在讲授重要极限等于1时,先有规律地对因变量x选取不同的值,直到因变量x趋近于0,通过数学计算软件得出其值；并让学生观察这些值的趋势,发现当因变量x趋近于0时,的值就无限趋近于1.这样学生便从感官上了解到这个极限的趋势.然后提供给学生可操作的模式,例如：“上下一致”、“内外一致”、“倒数关系”、“符号一致”等口诀以供学生记忆；在求解具体极限时,便可以利用这些口诀等模式,迅速计算出结果.

再次,在实际应用中渗透数学建模思想.由于高校大学数学课时数有限,传统的教学策略是简单讲授教材上的较少的一些理论例题以帮助学生理解所学内容.这些做法往往由于理论例题本身就比较抽象,从而学生理解比较困难,加之这种例题数量很少,效果更是大打折扣.笔者认为,有效的教学策略应该是：在教学中应尽量精选一些实际应用例题,进行建模示范；通过具体问题的建模范例,突出数学建模的思想方法,以帮助学生理论联系实际,进一步加深对所学相关大学数学知识的理解和掌握,并提高学生分析问题和解决问题的能力.例如：在讲解完一元函数介值定理后,就可以引进“椅子问题”这个简单的数学模型,即教师把四脚椅放在一个不平但连续的地面上,学生可以看到通常只有三只脚着地；然而教师将椅子挪动几次后,学生发现椅子是可以四只脚同时着地的；紧接着,教师给出该问题的数学模型,并运用抽象的介值定理来解释并证明“椅子问题”.通过解释与证明,不但使学生看到了如何利用抽象的介值定理来解决生活中的实际问题的方法,开阔了学生的思路,加深了对所学数学知识的理解,而且启迪了学生如何观察生活,如何用数学的语言来描述似乎与数学无关的现象,并用数学工具对它进行解释与证明,培养了学生良好的数学素养.最后,在作业和练习中渗透数学建模思想.目前在大学数学教材的练习题中,应用方面的题目很少,即使有也是一些条件充分、结果明确的练习题,这不能有效促进大学生知识应用意识和创新能力的提高.笔者认为,有效的教学策略应该是：将教材中一部分练习题的条件减弱或改换,使之成为符合学生认知规律且激发学生探索热情的简单的数学建模题.例如：同济大学出版的《高等数学》第327页的第6题,可做这样的修改：如果给出的实际问题中,室内的二氧化碳的含量以一定的速率产生,而其他条件不变又会怎样呢?如果题目中没有给出具体数字,只知道空气的变化率,我们又应该做何检测设?又应该如何处理呢?

三、结语

实践证明,在大学数学中渗透数学建模思想,注重培养学生解决实际问题的能力,是高校教育改革的发展方向.“学”是为了“用”,教师应努力运用各种教学策略,把数学建模的思想方法渗透到大学数学的教学中去.作为新时期大学数学的教育工作者,我们不仅要有扎实的数学素养,还必须努力在大学数学教学中运用各种教学策略以培养学生的数学建模能力和数学素养,为提高新时期大学生的数学素质贡献自己的力量.

[16]程惠东,赵义军,孙秋霞.数学建模思想在大学数学教学中渗透的探索与实践[J].泰山学院学报,2008,30（3）：78-80.

基金资助：2010年江西省教育科学“十二五”规划课题（10YB110）；2011年江西宜春市社会科学界规划课题；2009年江西宜春学院校级教改课题（YCVJG-2009-11）.