在“代”字上做文章

“代”的方法用处很广.它可以把已知与未知联系起来,把普遍与特殊联系起来,把复杂的式子变得简单而易于观察,把平凡的事实弄得花样翻新便于应用.在学代数、解代数题时,同学们不要忘了在“代”字上多做文章.

代数比算术高明,高明在一个“代”字上.用字母来代替数,会使我们大开眼界.

用字母表示未知数,我们就有了解应用题的有力武器——方程.

用字母表示任意数,我们就有了各种各样的公式、恒等式、不等式.

在解题的时候,如果你对“代”字深有体会,适当“代”一下,往往可以收到意想不到的效果.

有这样一道题：

例1已知方程ax2+bx+c等于0（a,c≠0）的两根为x1,x2,试写出以,为两根的一元二次方程.

这道题有多种解法.有的同学老老实实用公式求出x1,x2,再算出,,并利用x-x-展开找到所要的方程.有的同学不用解方程的方法,而用韦达定理求出：

+等于等于-÷等于-；

·等于等于.

然后用根与系数的关系写出要求的方程为：

x2+x+等于0.

有的同学更妙,用“代”的方法.设所要求的方程中的未知数为y,则y与原方程中的x互为倒数,即x等于.把它代入原方程,得到

a2+b+c等于0.

去分母得到cy2+by+a等于0.

这就是y应当满足的二次方程!（注意,因为a,c≠0,故x,y都不会是0）

用“代”的方法,我们还能解决不少类似的题目.比如要求一个一元二次方程,使它的根是方程x2+3x-2等于0的根的3倍,怎么办?好办,设y等于3x,则x等于.代进去一整理,便得到+y-2等于0,也就是y2+9y-18等于0.这就是所要求的方程.

要求一个一元二次方程,使它的两根分别是方程x2+px+q等于0两根的平方,怎么办呢?只要设y等于x2,则x等于±,同样可以代进去.但是,这样要用到根式,麻烦!可以变通一下,把原方程移项变成x2+q等于-px,两边平方得

（x2）2+2qx2+q2等于p2x2,

再用x2等于y代进去,得到方程y2+（2q-p2）y+q2等于0.

要是所求方程的两根分别是方程x2+px+q等于0两根的立方,又该怎么办呢?

第一步：由原方程得x2等于-px-q,?摇①

两端乘x,得到x3等于-px2-qx.②

第二步：把①式代入②式右边的第一项里面,得到

x3等于-p（-px-q）-qx等于（p2-q）x+pq,

也就是y等于（p2-q）x+pq,故x等于.将其代到原方程里面,就得到y应当满足的方程.要留心的是,用p2-q做分母是不是合理,p2-q什么时候为0.

代,对解方程也有帮助.一位学物理的大学生,碰到一个方程可以化成四次方程,但是很麻烦,可把他给难住了.我们来看看这个方程.

例2证明方程+等于的根在任何条件下全是实的.

要是直接进行有理化,就成了一个四次方程.如果仔细观察一下,把分母的样子变得对称一些,会给解题带来方便.

设x等于y+,代入原方程就是+等于,这样的方程去分母后变成了2y2+等于·y2-2.

这是一个特殊形式的四次方程,用代换y2等于z可以化成二次方程.下一步怎么做,你一定会了.最后的解答是Δ≥0,也就是说,在任何条件下方程的根都是实的.

像这样用代换使式子出现对称形的方法,用处可不小.例如,要证明当0≤x≤1时,有不等式x（1-x）≤,就可以设x等于+y,因为0≤x≤1,所以-≤y≤.把x等于+y代入x（1-x）,得到x（1-x）等于+y-y等于-y2≤,这样便一下子就出来了.

用“代”的方法还可以从一个平平常常的事实出发,推出一些有用的、不那么明显的式子.例如,若A是实数,总有A2≥0,用A等于x-y代入,得到（x-y）2≥0,展开之后便是x2-2xy+y2≥0,也就是x2+y2≥2xy.当xy>0时,把xy除过去便是+≥2.这就不很明显了.如果在不等式x2+y2≥2xy（xy>0）中,用x2等于a,y2等于b代入,便得≥,这就是用处很多的“平均不等式”!

刚才说的都是用字母代替字母,有时在一个公式里面用数字代替字母也有用处.一位同学在分解因式时,把公式x3+y3等于（x+y）（x2-xy+y2）错记成x3+y3等于（x+y）（x2+xy-y2）.他觉得不对,但是又不能肯定,便设x等于0,y等于1,代进去试后发现左边是1,右边是-1,于是立马肯定是错了.

但是要注意,这样验证公式,如果两端相等,并不能断定公式没记错.比如,如果他设x等于1,y等于0代进去,那么两边都是1,也就发现不了错误了.比较可靠的方法是,用字母代替记不准的地方,比方写成：

x3+y3等于（x+y）（x2+axy+by2）,将x等于0,y等于1代入,可求得b等于1.又将x等于1,y等于1代入,得2等于2×（1+a+1）,所以a等于-1.这样就把公式找回来了.

这个办法对记公式、恒等式很有用.

总之,“代”的方法用处很广.它可以把已知与未知联系起来,把普遍与特殊联系起来,把复杂的式子变得简单而易于观察,把平凡的事实弄得花样翻新便于应用.在学代数、解代数题时,同学们不要忘了在“代”字上多做文章.

实战演练

1.（1）已知x2+bx+c等于0的两根分别为-1和3,那么b,c的值分别为多少?b,c与根的关系是什么（检测设x1等于-1,x2等于3,用含x1,x2的式子表示）?

（2）已知x2+bx+c等于0的两根分别为x1,x2,那么以（x1-x2）2和（x1+x2）2为两根的一元二次方程是什么?

2.已知ax2+bx+c等于0（a,c≠0）的两根分别为x1,x2,那么以和为两根的一元二次方程是什么?以5x1和5x2为两根的一元二次方程呢?

3.已知≥（a,b>0）,只有当a等于b的时候,上述不等式中的等号才成立.根据上述信息,解答问题：一个长方形的周长为p（p>0）,求它的面积的最大值.

4.小明在做练习题的时候,要用到（x+y）3的展开公式,但是他记得不是很清楚,他不确定是x3+3x2y+3xy2+y3还是x3+3x2y-3xy2+y3,但是其中有一个肯定是正确的.请你用数字代替字母的方法,帮小明看看哪个式子是正确的.