例析导数在高中数学题目解答中的典型性应用

如何使得数学问题的解决更为容易,这一直以来都是施教者与受教者不断探索的一个重要课题,也是提升学生数学能力的关键.而导数作为一种研究函数性质以解决其它数学问题的重要工具,在高中数学的解题中有着广泛的应用.一般而言,在高中数学中,导数会被运用到函数题目的解析、几何问题以及不等式问题等的解决之中.本文主要通过一些示例,探讨了导数在高中数学解题中的典型应用.

一、导数在函数中的典型应用

导数因为其特殊的性质以及所蕴含的意义,被广泛的运用到了各种类型的函数的解题中,其中最典型的是对于函数单调性、单调区间、极值以及最值的求解中.下面我们来通过一些典型的例题进行基本的讲解：

1.函数单调性与单调区间

例：已知函数f（x）等于-x3+3x2+9x+a,求f（x）的单调性以及单调区间.

分析：在拿到这样的一个题目的时候,如果按照常规的方法求单调性以及单调区间,很难做到,看到函数是高次幂,并且可导,那么我们就可以考虑到用导数求其单调性以及单调区间.

解：f'（x）等于-3x2+6x+9,令f'（x）>0,那么解得x<-1或者x>3,也就是说函数在（-∞,-1）,（3,+∞）这个单调区间上单调递减.

2.函数极值最值

例：已知函数f（x）等于-x3+3x2+9x+a,若f（x）在单调区间[-2,2]上的最大值为20,那么函数在这个区间上的最小值为多少?

分析：通过观察我们发现,这个题目给出了函数在固定区间上的最大值,让我们来求其固定区间上的最小值,由此可知,这是一个逆向思维的题目.需要我们确定函数的解析式,也就是需要确定a的值,下面我们来看具体的解题步骤.

解：由题意可知：f（-2）等于2+a,f（2）等于22+a,所以我们可以得出f（-2）0,在区间[-2,-1]上f'（x）<0,所以函数在区间[-1,2]上单调递增,在[-2,-1]上单调递减,所以在-1处取得最小值,在2处取得最大值.于是可得a=-2,于是f（-1）=-7,也就是本函数在区间[-2,2]上的最小值为-7.

二、导数在不等式中的典型应用

导数在不等式中的应用最多的是对于不等式的证明,通过函数的构造,从而对整个函数进行单调性的判断,从而使得整个不等式得到有效的证明.下面我们来看看导数在证明不等式中的具体的应用：

例：已知函数f（x）等于xlnx,其中0分析：在拿到这个题目的时候,我们往往会被复杂的需要证明的不等式弄得一头雾水,似乎无处下手,但是我们如果在解题中能够想到导数的运用,那么肯定会事半功倍.通过求导,明确函数的单调区间,从而对a、b值做个限定,进行分类讨论从而证明不等式的成立.

解：函数求导可得：f'（x）等于lnx+1,则可以设G（x）等于f（a）+f（b）-2f[（a+b）/2],则G'（x）等于f'（x）-4{f[（a+x）/2]}'等于lnx-ln[（a+x）/2].

则可知,当0a时,G'（x）>0,因此我们可以知道G（x）在区间（a,+∞）上是增函数.

以此,我们可以判别,当x等于a时,b>a,所以G（b）>0,即0

三、导数在曲线求解中的典型应用

在一些曲线中,导数也得到了很典型的应用.比如说求曲线过某一点的切线方程等.其实这些问题的解决都跟导数的定义以及一些定理有着密切的关系.下面我们就导数在曲线求解中的典型应用做一个讲解：

例：已知曲线f（x）等于x3+x-16,点A（2,-6）是这个曲线上的一点,求f（x）在此处的切线方程.

分析：这是一道很典型的利用导数知识解决曲线在某点上的切线方程的问题.引用的是导数的定义.下面我们来看这道题的具体解法：

解：对f（x）等于x3+x-16求导可得：f'（x）等于3x2+1,由已知可知点（2,-6）在曲线上,那么我们通过导数的基本定义可知,f'（x）在点（2,-6）处切线的斜率为k等于f'（2）等于13.

所以,我们可以得出曲线在此点的切线方程为f（x）等于13（x-2）+（-6）,即f（x）等于13x-32.

四、导数在方程中的典型应用

导数除了在上面的一些题型中的应用,还会被运用到研究方程的根的问题之上,这些问题包括对于方程根个数、近似值等的求解.

例：已知函数f（x）等于x4-4x3+10x2-27,令f（x）等于0,那么在区间[2,10]上这个方程有几个根?

分析：这是一个高次方程的求根的问题,如果用常规的解方程的方法来处理,那么对于运算能力的要求就会显得特别高,并且也不易获得正确答案.但是如果我们能够利用导数进行求根,那么问题会被快速的解决.

解：根据题意求导可得：f'（x）等于4x3-12x2+20x,令f'（x）等于0,那么可得4x（x2-3x+5）等于0.通过验算可知,x2-3x+5等于0没有实数解.所以,x等于0,即f（x）的图像上只有一个驻点,也就是x等于0.

且,当x>0时,我们可以求得f'（x）>0,也就是f（x）在区间（0,+∞）上是一个递增的函数,当然在区间[2,10]上也是一个递增函数,代入断点可知f（2）等于-3<0,f（10）>0,所以函数f（x）在区间[2,10]上有且仅有一个根.