考研数学中的级数问题

摘 要：级数敛散性判定、级数的求和与函数的级数展开,是研究生入学考试中的常见问题,本文以近年考研题为例进行级数问题的分析.

关 键 词：考研数学级数敛散性幂级数傅里叶级数

级数是考研数学中的一个重要内容,常以解答题的形式出现,主要有如下三个方面的题型：一是级数敛散性的判定问题,二是级数的求和问题,三是函数的幂级数展开与傅里叶级数展开的问题.以下是以近年考研题为例,对级数问题所作的几点分析.

一、级数敛散性的判定

考研中级数的敛散性问题,以求幂级数的收敛域为常见,常用工具是比值判别法.对于幂级数ax,当<1时,幂级数收敛；当>1时,幂级数发散；而当等于1时,幂级数可能收敛也可能发散,此时需通过数项级数判别法进行判断.

例1：求级数x收敛域.【2012数学（一）第17题第一问】

解：由等于等于|x|<1,得-1

当x等于±1时,x等于,而≠0,级数发散.

所以幂级数x收敛域是（-1,1）.

例2：求级数x收敛域.【2010数学（一）第18题第一问】

解：由等于等于|x|<1,得-1

当x等于±1时,x等于是交错级数,收敛.所以级数x收敛域是[-1,1].

二、级数的求和问题

1.数项级数求和

设级数u前n项和为s等于u+u+等+u,则级数所有项的和S等于s.数项级数常用的求和方法有两种,一种是直接计算极限s,另一种方法是间接法,即借助已知的幂级数的和函数来求,常用的和函数有：x等于（-1

例3：设a为曲线y等于x与y等于x（n等于1,2,等）所围成区域的面积,记S等于a,S等于a,求S与S的值.【2009数学（一）第16题】

解：如图可知：

a等于?蘩xdx-?蘩xdx等于x-x等于-

∴S等于a等于（-）等于（-）等于

S等于a等于（-）等于（-）+（-）+等+（-）+等等于

∵（-1）等于-（-1）等于-（-1）等于ln（1+x）（-1

∴（-1）等于-ln（1+x）

∴x等于x+x等于x-ln（1+x）

∴S等于等于1-ln（1+1）等于1-ln2.

这里,S采用直接计算法,而S用间接计算法,借助了已知幂级数（-1）等于ln（1+x）来求,考研中的解答题一般会涉及多个知识点.

2.幂级数求和

幂级数求和是级数中的一个难点问题,但解题思路却比较明确,一般用间接法求解.也就是先把所给幂级数转化为已知的幂级数表示,然后利用已知的幂级数求和.如何用已知幂级数去表示所求幂级数,是解题的难点.解题时应注意对所给幂级数的项进行分析,将它的项与已知幂级数的项进行比对,常可通过提取公因式、系数分拆、求导、求积等手段寻找到它们之间的关系,进而将所给幂级数用已知幂级数表示,然后求和.

例4：求级数x的和函数.【2012数学（一）第17题第二问】

分析：由例1可知级数的收敛域为（-1,1）,注意到对于幂函数x,分别有如下“积分”和“导数”关系：?蘩xdx等于x+C,（x）′等于（2n+1）x,拆分所给幂函数项的系数,可将其转化为幂级数x来求.

解：当x等于0时,x等于3,

当-1

∴x等于（x）′+?蘩xdx等于（）′+?蘩dx等于+ln

∴x等于3x等于0+ln-1

例5：求级数x和函数.【2010数学（一）第18题第二问】

解：x等于xx等于x?蘩（x）′dx等于x?蘩（-1）xdx

等于x?蘩dx等于xarctanx

三、函数的幂级数展开与傅里叶级数展开

函数的幂级数展开与傅里叶级数展开是级数,也是考研级数中常见问题.一般的,函数的幂级数展开主要用间接法,即将所给函数化为“已知函数”后再展开,而函数的傅里叶级数展开则用直接法,即通过公式先计算傅里叶系数,然后将函数展开为傅里叶级数.

1.函数的幂级数展开

用间接法将函数展开成幂级数时,常用的“已知函数”有：等于x（-1

例6：将f（x）等于展开成x的幂级数.【2006数学（一）第17题】

分析：函数f（x）等于是分式结构,已知函数中具有分式结构的是与.

解：设等于+等于,得A-B等于1A+2B等于0?圯A等于B等于-

所以f（x）等于·-·等于·-·等于（）-（-1）x等于[-（-1）]x,-1

2.函数的傅里叶级数展开

以2π为周期的函数f（x）的傅里叶级数为f（x）等于+（acosnx+bsinnx）,其中傅里叶系数a等于?蘩f（x）cosnxdx（n等于0,1,2,等）,b等于?蘩f（x）sinnxdx（n等于1,2,等）.特别的：当f（x）是奇函数时a等于0,b等于?蘩f（x）sinnxdx（n等于1,2,等）；当f（x）是偶函数时,b等于0,a等于?蘩f（x）cosnxdx（n等于0,1,2,等）.

例7：将f（x）等于1-x（0≤x≤π）展开成余弦型级数,并求级数的和.【2008数学（一）第19题】

解：因为f（x）等于1-x是偶函数,所以b等于0.

∵a等于?蘩（1-x）cosnxdx等于?蘩cosnxdx-?蘩xcosnxdx等于sinnx|-?蘩xdsinnx

等于-xsinnx|+?蘩xsinnxdx等于-?蘩xdcosnx等于-xcosnx|+?蘩cosnxdx

等于-cosnπ+sinnπ|等于-·（-1）等于（-1）

而a等于?蘩（1-x）dx等于（x-x）|等于

∴f（x）等于1-x等于+acosnx等于+（-1）cosnx

∴f（0）等于+（-1）

∴（-1）等于[1-]等于