初中数学的例题教学

近年来,数学教研的工作重点已转到“优化课堂教学”上来.注重例题的教学,优化教材例题教学,充分发挥例题的桥梁作用,这是每位数学教师需要深入研讨的重要课题.在解题中,不断改变解题方向,从不同角度,不同的侧面去探讨问题的解法,寻求最佳方法,将复杂问题转化为简单问题,将抽象化为具体,化难为易,化整为零,从而提高学生的解题能力和探究推理能力,使教学达到“事半功倍”的效果.

一、例题的意图,化陌生为熟悉

教材中的每个例题的编排都有其意图,都能够比较具体地反映教学的有关内容,及学生应掌握的程度.由于它们被安排在不同的教学环节上,其目的也就有所侧重.因此,教师必须根据教学的实际和需要,深入钻研例题,领会和认识例题的意图,突出重点,兼顾其他,有意识地引导学生对例题的意图进行,给学生创设自我学习的情境,逐步地培养学生的学习能力和习惯.

例1：当（1）x等于5,y等于3；（2）x等于5,y等于-3时,求：代数式|x|+|y|-2|x||y|的值.

我引导学生例题意图,如下：

①复习代数式的值的概念.②进一步熟练求代数式的值的方法和步骤.③复习巩固绝对值的概念.④掌握有关绝对值运算的方法.⑤此例两个小题答案表明特殊情形下,同一字母取不同的数值时,同一代数式的值可能相同的事实.⑥找出本例特殊的原因.在学生明确了例题意图后,教师便可启发学生进行自我完善学习,使学生的学习效果符合例题意图要求,经常进行如此训练,不仅大大提高了例题教学效果,而且有助于培养学生的自学能力和良好的学习品质.

所以,例题教学要保证学生能听得懂,接受得了.要做到这一点,教师备课时必须做到“吃透两头”：一头是“吃透例题”,即对例题的内容、知识范围、与前后知识的联系、技能水平、难易程度等要一清二楚；另一头是“吃透学生”,即对学生的知识水平、能力水平、经验水平、年龄特征等要心中有数.对于一些难度较大,估计学生一下接受有困难的例题,要降低难度,搭好台阶,使学生感到只要自己“跳一跳”就能达到.

二、发掘课本习题的潜在功能,化复杂为简单

教材中的例题,习题大多数都是经过专家严格筛选而配置的,具有典型性和探索性,所蕴含的内容也相当丰富,所以教师应引导学生研究、发掘例题、习题的潜在功能,并将其视为教学的主要内容之一,它有利于培养学生能力,开发学生智力,使学生灵活运用已学知识解决问题.

例2：解关于x的方程：x+等于c+（c≠0）

它的根是x1等于c,x2等于,这个方程的两个根互为倒数且恰是方程右边互为倒数的常数,引导学生观察,掌握这些特点,就可以灵活运用这个结论简捷地解决课外的许多习题.

例3：（竞赛题）解方程+等于

解法一：用换元法,y等于则方程变为y+等于,先求出y,再求x.

解法二：利用例3结论,将方程变为+等于2+,从而得：等于2,等于即可求出原方程的根.

像这样引导学生研究一些例题,发掘其功能,利用它解决问题,不仅能收到事半功倍,以少胜多的效果,而且还能化难为易,激发学生学习兴趣.

由于教材正文中有的引例的计算不简便,不利于整个解题过程的操作与展示,笔者把课后的练习题设置为例题.

例4：某饮料厂1月份生产饮料的产量为500吨,3月份上升到720吨,求这个饮料厂2月份和3月份产量的平均增长率.

分析：设平均增长率为x,1月份产量为500吨,2月份产量为500（1+x）吨,3月份产量为500（1+x）（1+x）即500（1+x）2吨,列方程500（1+x）2等于720

解题之后,延伸分析：如果1月份产量为a吨,3月份产量为b吨,则2月份产量为a（1+x）吨,3月份产量为a（1+x）（1+x）即a（1+x）2吨,列方程a（1+x）2 等于b

总结平均增长率问题规律：a（1+x）n等于b其中a为增长的初始数据,n为增长的次数,b为增长后的最终数据,如果是降低百分率问题,只需将加号变为减号即可.有了这个公式,学生再遇到此类问题就可“迎刃而解”.

三、通过例题引申,化封闭为开放

在例题的教学中,不失时机地进行适当的引申,可以激发学生的求知欲,养成深入研究问题的习惯.

九年级上册第97页——思考探索

例5：如图1,在矩形ABCD中,AB等于6cm,BC等于12cm,点P从点A沿着边AB向点B以1cm/s的速度移动,同时,点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动,问：几秒后△PBQ的面积等于8cm2?

图1

解答：设x秒后△PBQ的面积等于8cm2,则AP等于x,BQ等于2x；

∴PB等于AB-AP等于6-x ∴S△PBQ等于PB·BQ等于·（6-x）·2x等于x（6-x）即x（6-x）等于8,x2-6x+8等于0,（x-4）（x-2）等于0

∴x1等于4 x2等于2

∴4秒或2秒后△PBQ的面积等于8cm2

引申新题：如图2,在直角坐标系中,四边形OBCD是矩形,C（6,12）,点P从点O沿着x轴向点B以1cm/s的速度移动,同时,点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动.

求：（1）点B、D的坐标.

（2）几秒后,△PDQ是直角三角形?

（3）几秒后,△PDQ是等腰三角形?

（4）几秒后,△PDQ的面积最大,并求出Q的坐标和△PDQ的面积.

通过这一系列的问题引申,吸引学生积极地去思考,借以巩固知识,培养学生分析能力和学生讨论问题的的严谨性,提高学生数形结合思想的利用能力,使学生真正学会通过二次函数来求最值问题. 四、变换例题结构,化零为整

针对课本上重要知识和学生掌握知识与技能的薄弱环节,就地取材,例题的教学宜求“变”、求“活”.利用交换题目的结构,通过变式练习,引导学生多角度、多方向、多层次地思考,扩大例题的辐射面,加深对基础知识的理解、掌握和变通,培养学生的发散思维能力.

例6：已知AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,切点是B,OC∥AD,求证：DC是⊙O的切线.

在讲解例题时,我们要对其进行深度的挖掘,注重例题的变化,加大知识的扩展与延伸.在上课的过程中,我对原题的题设和结论进行交换,改编为：

题1：已知AB是⊙O的直径,DC是⊙O的切线,切点是D,OC∥AD,求证：BC是⊙O的切线.

题2：已知,AD是⊙O的弦,DC是⊙O的切线,切点是D,OC∥AD,过C作⊙O的切线BC,切点是B,求证：AB是⊙O的直径.

对例题的变式,我们可通过改变条件和结论,图形变式,类比和拓展等多种途径,引导学生进行多角度的探讨,把一个题变成一类题,从而促成知识的迁移和延伸,达到使学生解一题,会一类的目的.

例7：（原例题）已知等腰三角形的腰长是4,底长为6,求周长.我们可以将此例题进行一题多变.

变式1：已知等腰三角形一腰长为4,周长为14,求底边长.（这是考查逆向思维能力）

变式2：已等腰三角形一边长为4；另一边长为6,求周长.（前两题相比,需要改变思维策略,进行分类讨论）

变式3：已知等腰三角形的一边长为3,另一边长为6,求周长.（显然“3”只能为“底”,否则与三角形两边之和大于第三边相矛盾,这有利于培养学生思维严密性）

变式4：已知等腰三角形的腰长为x,求底边长y的取值范围.

变式5：已知等腰三角形的腰长为x,底边长为y,周长是14.请先写出二者的函数关系式,再在平面直角坐标内画出二者的图象.（与前面相比,要求又提高了,特别是对条件0

通过例题的层层变式,学生对三边关系定理的认识又深了一步,有利于培养学生从特殊到一般、从具体到抽象地分析问题和解决问题的能力；通过例题解法多变的教学则有利于帮助学生形成发散思维,而又打破思维定势；有利于培养思维的变通性和灵活性.

波利亚说：“中学数学教学的首要任务是习题教学.教师要充分发挥例题教学的示范和引领作用,使之成为促进学生发展的有效途径.”通过例题教学不仅能培养学生数学学习能力和思维能力,而且能以点带面,提升学生的感性认识,帮助学生领悟数学思想方法,探寻并掌握学习的“捷径”,大大提高教与学的效率.

[参 考 文 献]

[1]（美）乔治·波利亚著,刘景麟等译.数学的发现[M].北京：科学出版社,2009.

[2]王丽君.挖掘课本习题价值的实践[J].北京：中小学数学,2013（5）.

（责任编辑：张华伟）