中学数学向量的教学探究

【摘 要】学好中学数学向量,可以使得同学们领悟到数学在现实生活中的应用,对数学计算的意义得以体会,此外对运算能力予以扩展,对处理几何问题的某种方法予以驾驭,提高数形结合分析问题的意识,使得同学们对数学本来属性的认知得到增强.对向量的教学务必体现物理背景,注重向量的代数性质与几何意义,同时重视向量工具和方法在物理、数学以及现代科技当中的运用.

【关 键 词 】中学数学；向量教学；探究

《高中数学课程标准（实验）》中对平面和空间向量的内容分别进行了设置,大多数数学老师认为高中数学的向量更多地是被当作使得几何问题简化的某种工具.正因为如此,把向量教学的探索重点聚焦于向量在处理几何问题当中的运用,用向量使得几何问题简化的技巧即为该教学的主要方向.本研究更多的是对中学数学现行课程当中向量内容的定位、向量的教育价值以及向量教学经常用到的方法进行了较为深入的探讨.

一、对向量的初步认识

1.作为几何的研究对象

作为几何学的基本研究对象的向量,能够用来对物体的位置予以表示.向量作为几何学的研究对象来说,它有方向和长度,不仅能够对线面以及空间等对象和它们的位置关系予以描述,而且能够对长宽、大小以及容量等度量问题予以描述.

2.作为代数的研究对象

向量能够用来予以不同种类的运算,该部分运算带给向量集合自身的组成,使得向量有着一连串很多的属性.因此,毋庸置疑的是,向量的运算以及向量的性质成为代数的探索对象.

3.作为串联代数与几何的导线

作为有向线段的向量,能够用来对位置予以确定.然而要用向量对图形的性质进行描述,克服几何中的长宽和大小度量问题仅有有向线段还不行,务必利用向量的代数运算才可以得以完成.比如说,通过向量的数乘运算能够对平行予以描述,通过向量的数量积运算能够对垂直以及三角关系等予以描述.所以,集数和形于一身的向量,最好地体现了数形结合,成为串联代数以及几何之间的导线.

二、向量部分的教学意义

1.领悟数学和现实生活以及其他学科之间的关联

向量是用来刻画位置的一种不可或缺的数学工具,在空间科学尖端技术当中有着广泛的运用.向量亦为对一部分物理量予以描述的数学工具,它很好地体现了数学同物理的关系.所以,学好向量,对体会数学和物理等学科在现实生活中的应用是有着积极作用的,同时体会向量在对现实问题的描述和处理当中的作用,从这当中领悟到数学的实用功效.

2.对数学运算的功效予以体会,对计算能力进行培养

作为代数对象的向量,能够用来予以计算.数学发展的一道轨迹即为计算对象的发展.说到计算,函数以及变换计算等均为数学当中的基本计算.计算的一次飞跃是从数字、字母以及多项式计算发展到向量计算.向量的长度能够使用向量的数量积计算来予以描述,也就使得我们对长宽、大小、容量等度量问题予以描述的时候能够考虑到利用这样的代数计算.向量计算对不同类型的代数计算的特征以及功能予以了更淋漓尽致的展现,这可以为同学们深入地理解另外的数学计算以及发展同学们的计算能力打下很好的根基.

3.驾驭几何与代数相结合的方法,对数形结合思想进行深入的领悟

向量同时成为代数对象以及几何对象.它能够用来予以计算,它有方向和长度,能够用来对长宽、大小以及容量等几何度量予以描述.应用向量对几何对象以及度量问题予以描述均为利用其代数计算来完成的.向量集数形于一身,是使得代数与几何得以连接的天然桥梁.学习向量,可以帮助同学们驾驭几何与代数相结合的方法,对数形结合的思想予以很好的领悟.

三、在向量教学过程当中经常会用到的教学方法

1.与向量的物理背景相联系

需要联系到向量的物理背景,该部分物理量为同学们在平时学习中可以经常应用到的,这有利于向量定义的理解及其计算.在教学的过程当中,对体现向量的该部分物理背景务必保持足够的重视.比如说,在对向量计算予以引入的时候,一个相对直观的方式是可将位移的合成当成背景.如果张明同学从A经过位移到B记为AB,再从B经过位移到C记为BC,那么张明同学从A到C的经过位移记为AC,该位移即为A到B与B到C两个位移的全部位移.在此基础上,也即有了向量计算法则的导入,同时还引入了三角形法则,进而顺利成章地导出了平行四边形法则.在对向量的一部分计算规则予以导入的时候,亦可将力作功当成背景.当力增加λ倍的时候,力所作的功亦对应地增加了λ倍,两者的合力所作的功与该二力各自所作的功之和是一样的.正因为如此,其数量积运算对于其加法运算满足分配律：a（b+c）等于a·b+a·c,其数乘计算以及数量积计算满足结合律：（λa）b等于λ（a·b）.

2.对向量的代数属性及其几何意义予以足够的重视

在对向量进行教学的过程当中,需要对其运算的意义以及运算律予以留心.比如说,向量的加法以及实数域中的实数与其数乘计算满足数乘对加法的分配率、数乘运算的结合律以及数乘对向量加法的分配律等,这即构成了线性空间的基本属性.

在对其予以教学的过程当中,尤其应该对其数乘、数量积以及数的乘法计算的相同点和不同点引起足够的重视.比如说,在数的计算过程当中,零是仅有的加法零元,一为仅有的乘法单位元.在其加法计算的过程当中,零向量亦为仅有的加法零元,对于任意的向量a,均有零与a之和为向量a本身.然而其数乘以及数量积计算却均有着与数计算不一样的规则：对于任意的向量a,有着向量a与1的乘积等于向量a本身以及a与零的乘积等于零.尽管亦有单位向量的定义,然而它为非数量积计算的单位元,亦即为ea≠a,与此同时,单位向量亦非绝无仅有.如果将其起点放在相同的点上,那么全部的单位向量即形成了一个单位圆；数的乘法计算满足结合律以及消去律.在其数量积计算过程当中,有（a·b）c≠a（b·c）.其原因在于,a·b以及b·c均为实数,（a·b）c为同c方向相同或者是相反的向量,a（b·c）为同a方向相同或者是相反的,但是不意味着a和c就一定共线,检测使共线,并不意味着（a·b）c等于a（b·c）即一定成立,因为（a·b）等于（b·c）未必一定成立.如果向量a、b和c为三个相互垂直的向量,同时都不为零,那么有ab等于ac等于0一定成立,同时a和b不相等,不过b等于c一定不成立.所以,在教学的过程当中,需要使得同学们明确向量计算以及数计算的该部分相同与不同的地方,唯有如此才可以对其计算以及代数计算有着更进一步的理解和体会.

除此之外,在对向量进行教学的过程当中,也需要注意对其代数属性的几何意义予以揭示.比如说,向量数乘运算λa的几何意义为同a平行的向量,亦能够表示某点与某一方向向量a所确定的直线,这即将向量的线性计算连同平面以及空间相互关联起来了.在教学的过程当中,需要帮助同学们把其代数计算同其几何意义相互关联起来,唯有如此才可以应用其代数属性更好地对其几何对象进行描述,也就是对代数以及几何之间的关联进行很好的领悟.

3.对向量在物理、数学以及现代科技当中的应用多予以留心

向量在物理当中有着广泛的应用是毋庸置疑的.在教学的过程当中,需要指导同学们有意识地应用向量以及它的运算的性质来描述以及处理物理领域当中的某部分问题.其在数学领域当中有着极为广泛的运用,它本身以及它的代数计算能够用来对几何对象以及度量的问题予以描述,还能够被用来对三角函数以及重要的不等式予以表示,还能够被用来对三角函数的公式予以证明.所以,在对向量的教学过程当中,需要注意突出向量的广泛应用性.尤其需要注意的是不能够将向量的应用仅仅局限于将几何问题予以简化当中.

四、总结

本研究首先分析了向量的初步认识,分析了向量的代数、几何研究对象,以及向量作为沟通代数和几何之间桥梁的作用.紧接着,分析了向量的教育价值,表现为：对数学与其他学科的关联以及它们在现实生活当中的应用予以深入的体会,对数学计算的实用功效予以深入的理解,对向量以及整个数学的计算能力进行发展,驾驭几何与代数相结合的方法,对数形结合思想进行深入的领悟.最后,阐述了向量教学当中常用到的教学方法,表现为：与向量的物理背景相联系,对其代数属性及其几何意义予以足够的重视,对其在数理领域以及现代科技当中的应用予以关注.期望本文能够对高中老师教学提供一定的指导,以彰显本研究一定程度的实用价值.

【参考文献】

[1]刘兆辉.中学数学课程中的向量教学研究[J].西北师范大学,2005（6）；

[2]文匡国.试论高中数学教学中的向量教学[J].教学研究,2013（3）；

[3]陆燕.新课改下高中向量的教学研究[J].苏州大学,2011（6）.

（作者单位：浙江省丽水学院理学院）