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在中考总复习中,长期奋战在一线的教师经常会遇到类似的困惑,即为了挑选所谓的综合题进行磨炼和评讲,不知不觉中成了历年中考压轴题的搬运工.但是如果我们过于迷信中考题的标准答案,演变成“拿来主义”,在实际教学中,往往不能达到预期的目标和效果,从而陷入就题论题的教条之中.相信很多同行和我相似的经历,曾经不止一次被我们的学生的另类解法所震撼,在挑战教师尴尬的权威的同时,促进了教师自身业务水平的提高,并在无形之中对我们提出了更高的要求.

多年来,我已经养成这样一个习惯,凡是要和学生讲的例题或是布置给学生的作业,我都不敢马虎,必须得自己完完整整地做一遍,我对一些全国各地交流的优秀中考题,不是过分迷信其标准答案,而是追本溯源,举一反三,在避免了题海战的同时,进一步提高学生灵活解题的能力,充分肯定学生的奇思妙想,真正做到教学相长.

下面是我整理了近年来几道不仅形似而且神似的压轴题,略作剖析,希望和大家一起探讨.

题1(上海2012年中考压轴题):如图1,在半径为2的扇形AOB中,∠AOB等于90°,点C是弧AB上的一个动点(不与点A、B重合)OD⊥BC,OE⊥AC,垂足分别为D、E.

(1)当BC等于1时,求线段OD的长;

(2)在△DOE中是否存在长度保持不变的边?如果存在,请指出并求其长度,如果不存在,请说明理由;

(3)设BD等于x,△DOE的面积为y,求y关于x的函数关系式,并写出它的定义域.

此题是上海市2012年中考数学最后一题,解答此题需要一定的综合能力.在此基础上,师生双方都要对该题作出完整的独立的思考.对教师而言,不仅要有清晰的理解题意,而且应该站在理论的高度,深入剖析,钻研各种变化.而对学生而言则要求通过自身的努力,做一些思维上的初步加工,并形成自己的认识和想法.

一、教师的初步印象

初步浏览后,我对此题的第一感觉就是似曾相识,仔细查找后发现,竟然和2008年广州中考最后一题有着惊人的相似,而广州的2008年的压轴题也就是上海2000年中考压轴题的连续剧.本题不仅考查了圆的知识,同时渗透了几何的相关定理,并结合了动点和函数,应该说是一道完完整整的综合题.通过详细分析后发现,第一问考查了垂径定理和勾股定理,比较容易解决.第二问考查了垂径定理和三角形中位线定理.但对于线段AB的长度是个定值,不是图上现成的,恐怕会对学生造成一点麻烦.第三问则要求更高,对动点C的正确理解成了本题的关键所在.即点C在运动的过程中,我们必须得看清图中,哪些在变,哪些是不变的.除了找出半径OA,OB,以及线段DE不变之外,最大的困难恐怕就是判断出∠EOD的大小是定值.这样在△OED中,已知两边和一个特殊角,本题就可以迎刃而解.

二、充分了解学生的困难

我们都知道,学生对圆这一章的知识的掌握,都是在整个圆里获得的,对半圆已经有很多的不适应,更不用说四分之一的圆.第一问,已经对一小部分学生造成困难,就是和书上垂径定理的那张示范图对不上号.第二问的定值,学生基本能排除线段OD和线段OE,但在求线段DE的时候有些束手无策.究其原因,不外乎两个,其一,没能发现中位线.其二,对线段AB的长度是个定值,没有清晰的认识.而第三问则是要求在第二问的基础上完成的,能力较好的学生也是在适当提醒∠EOD是定值的情况下完成的.


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三、抛砖引玉,适度链接

如果此时就题论题,其效果恐怕微乎其微.此时我随即推出了2008年广州中考压轴题,取得了意想不到的效果.两张极为接近的图,立即在学生中引起了不小的骚动.

题2(2008广州中考题):如图2,扇形OAB的半径OA等于3,圆心角∠AOB等于90°,点C是上异于A、B的动点,过点C作CD⊥OA于点D,作CE⊥OB于点E,连结DE,点G、H在线段DE上,且DG等于GH等于HE.

(1)求证:四边形OGCH是平行四边形;

(2)当点C在上运动时,在CD、CG、DG中,是否存在长度不变的线段?若存在,请求出该线段的长度;

(3)求证CD2+3CH2:是定值.

四、积极参与,收获颇丰

本题和2012上海的中考题有着太多的相似,如果能互相渗透,可以说是对本类知识体系的一种补充和拓展,相信会取到事半功倍的效果.

第一问,几乎在每个版本的新教材上都有这样的例题,只不过把平行四边形(图3)改成了矩形(图4),把条件EH等于DG改成了EH等于HG等于DG,就得到了图2中的矩形,所以很快就解决了.

让人感到欣慰的是学生对第二问的挑战,除了在第一时间能发现半径OA,OB是定值之外,还能分析到随着点C的运动,线段CD在变化,排除了CD后,就剩下线段CG和线段DG.学生能这样思考,说明其已经初步具备了分析问题的能力,应该肯定.而点G和点H是线段DE的三等分点,所以不难发现DE是矩形ODCE的对角线,它等于OC,从而联想到对角线OC就是半径.第二问的成功解决,给学生带来了更多的信心.对于解决第三问,说实话我对学生没抱太多的希望.但应该收获的是对该图的完整认识,找出图中所有变与不变的线段,是我提示的第一问,结果比较令人满意.而现在探讨的线段CD和线段CH的关系,两条都在变化的线段,可以联想到数学中的什么知识点呢?这是我提示的第二问.学生也能迅速想到是一种函数关系,线段CH随着线段CD的变化而变化,可以设CD等于x,则CH2等于4—x2.

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五、集思广益,教学相长

在探讨函数关系的变量时,有学生无意中提到角度在变.我重新审视了一下原图,那不是三角函数吗?不妨设∠CDE等于α,则CD等于3COSα,CE等于3sinα,CH2等于(2sinα)2+(cosα)2,利用三角函数的有关性质,能巧妙解决此问.我能有这样的意外收获,真得好好感谢学生的提醒,说明群众的智慧是无穷的.

六、趁热打铁,完美结合

在学生为自己的发现而兴奋的时候,我摆出了题3(上海2000年中考数学压轴题)如图,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上,有一个动点P,PH⊥OA,垂足为H,△OPH的重心为G,当点P在AB上运动时,线段GO,GP,GH中,有无长度保持不变的线段?如有,请指出这一的线段,并求出相应的长度.

有了题2的铺垫,学生的思路完全打开了,对此图形已经有了清晰的认识,很容易想到把图5转换成图6后,问题就变得轻松而简单了.

有了这两题作为铺垫,我再把题1重新放到了学生面前.此时,学生对这张图不再那么陌生,由此为我的讲解开了一个很好的头.对于第一问,学生从BC是弦,OD⊥BC,很容易想到垂径定理与勾股定理来解决;对于第二问中的不变量,学生马上看刚才的题2,由题2的铺垫,也马上想到了连接AB,运用三角形的中位线来证明;本题的第三问是难点,我提示了第一点:由BD与OB可以表示谁?然后我提示他们第二点:△ODE中DE不变,∠DOE是个什么角?学生观察后猜测是45°,很容易想到连接OC,知道了一个角与一条边,想到了作OE上的高DF,由此,图1转换成图7.接下来,学生做起来就很轻松了,马上想到运用三角函数和勾股定理求出OF与EF、DF,这样,△ODE的面积迎刃而解.

总之,在新课程理念下,如何发挥习题资源的作用,对我们每一位数学教师提出了更高的要求,迫使我们认真钻研,不断提高自身的业务素养,把握住习题“源于教材,但高于教材;题在书外,根在书内”的要领.教师应不断尝试把相关的知识点作重新整合,彻底改掉多年以来养成的搬题,报答案的陋习,实实在在地精选组合习题,不断提高课堂教学的实用性,真正体现有效教学.把新课程改革的理念落到实处,师生共同参与,乃是培养学生数学能力,提高数学品质的一种质朴而有效的方法.

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(责编 高伟)

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