矩阵与变换的教学

摘 要 ：本文结合笔者的数学新课程教学实践,就矩阵与变换的教学作一反思.笔者认为,新教材关于矩阵与变换教学的重点难点应是初等变换、矩阵的特征值和特征向量；新教材的相关内容在初中和大学之间起到承上启下的作用；笔者就几种常见的平面变换提出了自己的教学思考.

关 键 词 ：高中数学；矩阵与变换；教学思考

一、对课程标准的理解

以变换为主线贯穿于整个教学过程,使学生真正理解矩阵对向量作用.通过图形变换理解并掌握初等变换.教学的重点难点应是初等变换、矩阵的特征值和特征向量.

选修4-2的教材名称就为《矩阵与变换》,顾名思义,整个教材应该是围绕着矩阵和变换之间的关系展开的.我们这里把矩阵作为几何变换的一种表示,着重突出矩阵的几何意义,矩阵的运算的几何意义,矩阵的逆的几何意义,矩阵的特征值、特征向量的几何意义.为进一步从代数的角度认识矩阵提供了一个直观的、生动的、具体的模型.

二、教材内容的承上启下

在初中的几何学习中,同学们已经熟悉了对称变换、轴对称变换、中心对称变换（旋转180度的旋转变换）、平移变换、放缩变换等.这些变换我们能用相应的语言去刻画.从本质上来讲,这些变换都是把平面上的一个点变成平面上的另一个点.

我们再来看看向量与平面上的点的关系.平面上的点是可以唯一确定的,可以用以原点为起点这个点为终点的向量唯一确定.不难看出,平面上的点与这样的向量是一一对应的关系.我们可以用过原点的向量来刻画平面上的点.所以,平面上点的变换也常用向量来刻画.

教材中,介绍了一种反映变换的代数形式――二阶矩阵.二阶矩阵作用在一个向量上可以得到一个新的向量.这里的矩阵就是映射.在此基础上,我们可以用矩阵来刻画我们熟悉的几个几何变换.

教材中对矩阵与变换作了横向补充,矩阵的乘法对应着变换的复合,逆矩阵对应着逆变换,二阶矩阵与二元一次方程组能用变换与映射的观点认识解线性方程组的意义.特征值、特征向量其实质就是计算矩阵的高次乘法的具体工具,由此可见教材的编写意图十分明显.教材与大学《线性代数》中讲解矩阵的区别就在于,大学是把矩阵作为一个代数对象.

以下就几种常见的平面变换谈谈自己的看法.

三、教学思考

1.强调语言的翻译.本章内容的核心就是将六种几何变换（形）转化为矩阵（数）,所以教师不宜采用大学线性代数的方式去教学,为了达到这一步,教材作了许多铺垫.

P8例5（1）已知变换ｘｙ→ｘ＇ｙ＇＝１ 42 3ｘｙ,试将它写成坐标变换的形式；

（2）已知变换ｘｙ→ｘ＇ｙ＇等于ｘ-2yｙ,试将它写成矩阵乘法的形式.

建议两小题都用文字语言作为一个过渡,更有利于下一节的教学.

P118计算1 20 -131,并解释计算结果的几何意义.

结果为5-1,怎么解释它的几何意义?

在进行六种变换的教学时不妨将文字语言作为一种相似度检测语言,比如在切变变换矩阵1 20 1作用下的变换1 20 1ｘｙ→ｘ+2yｙ可以先叙述成纵坐标不变,横坐标为原来的横坐标与纵坐标2倍的和,这样它所具有的几何意义也就很清楚了.

2.变换确定后如何得变换所对应的矩阵

P12的恒等变换,T：ｘｙ→ｘ＇ｙ＇＝ｘｙ,教材直接得到它所对应的矩阵为M等于1 00 1,但这样教学是否恰当?可以采用这样的方式；设M等于a bc d,a bc dｘｙ等于ｘ＇ｙ＇等于ｘｙ,所以ax+by等于xcx+dx等于y,它们是关于x,y的恒等式,所以a等于1,b等于0,c等于0,d等于1,所以M等于1 00 1,同样的其它五个变换矩阵,刚开始也可以采用这种方式教学,当学生熟练后再给出结论更能让学生理解.

3.伸压变换与伸缩变换

教参P8有一段话：伸压变换不同于伸缩变换,伸缩变换是指横坐标或者纵坐标都同时按比例拉伸或者压缩的变换（教参最后提醒是本书所讲的伸压变换）.本人认为有两点要注意：

①伸压变换是伸缩变换的一种,它只能单独对x或单独y进行变换,而伸缩变换可以同时对x,y进行变换.

②选修4-2与选修4-4的比较

4.切变变换矩阵的得到的系数m是多少?应举一个具体的例子：DE等于等于

如图Rt△M' PE∽Rt△B'A'F,等于,

又∵DE等于x'-x,∴x'等于x+ y

5.可逆矩阵.应了解几个常见结论.

①A可逆,条件为A≠0,

②A-1是唯一的,

③（AB）-1等于B-1A-1

④条件AB等于BA等于E,可以只要一个,即AB等于E.

略证:AB等于AB等于E等于1,∴A≠0,∴A可逆

∴B等于EB等于（A'A）B等于A-1（AB）等于A-1E等于A-1

⑤A等于a bc d,则A-1 等于

其中A,B,C为二阶矩阵

⑥若矩阵A存在可逆矩阵,AB等于AC则B等于C；BA等于CA,则B等于C.

6.P2有一个结论：一般地,二阶非零矩阵对应的变换把直线变为直线.它的证明用到了定比分点坐标公式,但新教材对此内容也已经淡化,在证明这个公式时,是补一下定比分点坐标公式,还是转换成用共线向量定理证明值得思考.

7.恰当举例.第一个是伸压变换的举例,教参P8举了自动门的例子.第二个是AB BA的举例,“这就好比穿鞋子和穿袜子,颠倒了先后次序,结果就不一样了.”经过这些形象的例子,学生对矩阵的理解会更深刻透彻.

【参考文献】

[1].普通高中数学课程标准（实验）[S].北京:人民教育出版社.2003.

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