函数教学的三个关键点

函数概念贯穿中学数学的始终,利用函数知识、思想可以处理、解决很多数学问题. 因此,多年来高考始终贯穿着函数及其性质这条主线. 显现出“函数热”居高不下的趋势. 函数问题具有较强的伸缩性,既可以“低档题”填空形式出现,也可以“中档题”、“高档题”形式出现,并多与其他问题联系在一起. 因此,函数是我们高中数学问题的基础主体内容,也是重点、热点内容. 一方面,函数它不但是数学研究的对象,同时也是数学中常用的一种思想方法,函数的思想广泛地渗透到数学教学的全过程及其他各学科之中,因此搞好函数的教学至关重要,另一方面,函数概念因为其高度的抽象性而成为最难把握的概念之一. 无论是教师的教还是学生的学,都存在困难,笔者认为,函数教学关键应抓住三个关键点.

一、 关键点1：必须使学生深刻理解并把握函数概念的本质

实践表明,由于函数概念的抽象性,“变量”概念的复杂性以及函数符号的抽象性,使函数概念成为中学生感到最难学的数学概念之一. 学习了集合理论后,教材运用集合与映射的观点重新定义了函数：函数是非空数集上的映射. 而映射是一对一,多对一的对应. 于是在康托集合论的基础上来理解函数,别有一片天地. 之前的函数概念：在某一运动变化过程中有两个变量x,y,当x在某一给定范围内任意取值时,在某一对应法则f的作用下,y都有唯一确定的值与它对应,那么y就叫做x的函数,其中x叫自变量,x的取值范围构成的集合就是定义域,y的对应值的集合是值域,这种运动变化观点下的函数定义称为传统定义,而现在建立在集合与映射观点之上的函数定义称之为近代定义.

事实上,函数的本质是两个变量之间的一种特殊的对应关系,有三个要素：定义域,值域和对应法则,通常可表示为f：A→C,A代表定义域,C代表值域,f指的是对应法则,函数就是建立在两个非空数集A,C上的一种对应关系,有判别两个函数是否表示同一函数的问题. 如 ①f（x）等于x,g（t）等于；虽然表示自变量的字母不一样,但因为g（t）等于等于t,和f（x）等于x的定义域和对应法则都一样,因而值域肯定一样,g（t）与f（x）表示同一函数；②f（x）等于,g（x）等于x+2；因为②中的两函数虽然化简后的解析式一样,但因定义域不同,故就不是同一函数；③f（x）等于x,g（x）等于；这两个函数,虽然定义域相同,但g（x）等于x,与f（x）等于x的对应法则不同,也不是同一个函数. 三要素中只要有一项不同就不是同一函数,这种题型有助于我们理解函数的本质.

对于一个具体的函数关系,我们首先要把握一个重要的原则,就是定义域优先. 定义域是函数的一条生命线,在求函数值域,判断函数的周期性或奇偶性时必须首先考虑函数的定义域. 如求f（x）等于loga（x2-2x-3）的单调区间,学生们常常会忽视定义域,有时在求解过程中还要注意定义域的变化.

例1 已知f（x+）等于x2+,求f（x-1）.

错解：由已知得：f（x+）等于（x+）2-2.

∴f（x）等于x2-2.

∴ f（x-1）等于（x-1）2-2等于x2-2x-1.

剖析：在使用直接拼配法或换元法求函数解析式时,没有考虑定义域变化.

正解：由已知得f（x+）等于（x+）2-2.

∵x+≥2,∴f（x）等于x2-2（x≥2）.

从而. f（x-1）等于（x-1）2-2等于x2-2x-1（x≥3或x≤-1）

分段函数的学习更能帮助我们理解函数的本质,分段函数是一个函数而不是多个函数.

例2 求分段函数y等于2x+3,x≥0,x2-1,x<0的值域.

错解：当x≥0时,y等于2x+3≥3；当x<0时,y=x2-1,可得y>-1. 故原函数的值域为：当x≥0时,值域为y≥3；当x<0时,值域为y>-1.

剖析：分段函数是借助于几个不同的表达式来表示的,它是一个函数,而不能误认为是几个函数,在处理分段函数的问题时,要分段处理,其函数的值域应是各个分段函数的并集,同时各个分段的“断点”要注意处理好.

正解：x≥0时,y等于2x+3≥3；当x<0时,y=x2-1可得y>-1,故原函数的值域为y>-1.

函数概念的学习是一个循序渐进的过程,为了切实使学生理解函数的概念我们应当做到如下三点.

1. 注重学生学习函数概念的心理建构过程

建构主义教学理论认为：应把学习看成是学生主动的建构活动,教学应与一定的知识、背景即情境相联系；在实际情境下进行教学,可以使学生利用已有的知识与经验同化和索引出当前要教学的新知识,这样获取的知识,不但便于保持,而且易于迁移到陌生的问题情境中. 在函数概念教学中,可以适当采用引导讨论,注重分析、启发、反馈,先从实际问题引入概念,然后揭示函数概念的共同特性：（1）问题中所研究的两个变量是相互联系的. （2）其中一个变量变化时,另一个变量也随之发生变化. （3）对第一个变量在某一范围内的每一个确定的值,第二个变量都有唯一确定的值与它对应. 同时从阅读、练习中巩固概念,再从讨论、反馈中深化概念,让学生自己完成从具体到抽象的过程,避免概念教学的抽象与枯燥,使学生深入理解函数的实质,从而让学生较好地完成函数概念的建构.

2. 注重函数概念与信息技术的适时适度性结合

刚进高中的高一学生,思维较为单一,认识比较具体,注意不够持久. 并且高中数学比较抽象,学生教学普遍感到困难. 因此在教学过程中应创设一些知识情境,借助现代教学手段多媒体进行教学,让学生在轻松愉快的氛围中进行学习. 应用信息技术时要根据教学需要,学生需求和课堂教学过程中出现的情况适时使用,并且运用要适度,掌握分寸,避免过量信息钝化学生的思维. 函数概念教学中,教师可以借助于几何画板,图形计算器等现代教学工具辅助教学,鼓励学生上机操作,观察函数图象的变化过程,引导学生交流与讨论,更好地教学和理解函数. 3. 注重函数概念的实际应用

抽象的函数概念必须经过具体应用才能得到深刻理解,生活中许多问题都是通过建立函数模型而解决的. 在函数概念教学中,可以通过函数性质比较大小,解不等式,证明不等式等活动加强理解. 同时引入具体的函数生活实例,如银行利率表、股市走势图,让学生记录一周的天气预报,列出最高气温与日期的函数关系等. 这样学生既受到思想方法的训练,又对函数概念有了正确的认识,使学生相应的数学能力得到充分的培养与发展.

二、关键点2：必须使学生正确理解和刻画函数的图象

函数的图象不仅是函数表示的一种方法,更是函数性质的外在表现,通过图象可以帮助我们认清和理解函数的性质,教学中必须明确函数的图象都是满足一定条件的点所构成,本质上就是以x作为横坐标,y作为纵坐标的所有点构成的曲线、折线或孤立的点. 同时必须明确的是,并不是所有的函数图象都是连续的或是光滑的,有的函数图象就是由一些孤立的点组成的,甚至有的函数图象根本就画不出来（如狄里克雷函数）.

数形结合是一种重要的数学思想方法,其作用在此不作赘述,这里只强调作图的准确性. 也就是说利用这种数学方法解题时,前提是图象画得必须正确. 如图1,y等于sinx,x∈（-,）和 y等于tanx,x∈（-,）的图象不是左图这样的,而应如右图所画. 如画图不准,数形结合就会得出sinx等于tanx x∈（-,）解的个数为3的错误.

三、关键点3：必须使学生深刻理解函数的性质

平时必须注意函数性质的教学,舍得在函数性质的新授课上花时间、花精力. 让学生真正理解函数性质的定义,什么样的函数才有这样的性质,应用的条件和范围等,下面以单调性的教学为例说明.

1. 要使学生深刻理解单调性的定义

在函数的单调性定义的教学中,必须尽可能地做到：（1）把函数单调性的定义与直观图象结合起来,加深对定义的理解,渗透数形结合的数学思想方法；（2）强调单调性是函数的局部性质,单调性是相对于给定区间的,离开了相应的区间就根本谈不上函数的增减性,不能说函数在x等于5时是递增的还是递减的,在强调局部性的时候也不排斥有些函数在其定义域内都是增函数,也就是说并不是所有函数的单调区间都不能以并集的形式写的；（3）厘清定义中的“任意”和“都有”的含义,强调“任意”就是指不能取特定的值来判断函数的单调性,而“都有”则是说只要x1

2. 要让学生厘清函数的单调区间与函数在某一区间单调的区别

例3 函数y等于x2+2ax+1在x∈（-∞,1]上是单调减函数,求a的取值范围.

错解：因为函数y等于x2+2ax+1在x∈（-∞,1]上是单调减函数,所以-a等于1,即a等于-1.

剖析：错把函数在x∈（-∞,1]上单调递减理解为函数的单调减区间是（-∞,1],事实上,当a≤-1时,函数y等于x2+2ax+1在（1,-a]上也是单调减函数. 函数在某一区间单调与函数的单调区间不要混淆.

正解：函数的对称轴为x等于-a,因为函数在x∈（-∞,1]上是单调递减函数,a≤-1.

3. 注意复合函数的单调性

例4 求函数y等于cos（-2x）的递增区间.

错解：由2kπ≤-2x≤2kπ（k∈Z）,解得-kπ+≤x≤-kπ+π（k∈Z）.

y等于cos（-2x）的单调增区间为

-kπ+,-kπ+π（k∈Z）

剖析：解法忽视了复合函数的单调性规则,正确的答案应是-kπ-π,-kπ+（k∈Z）.

函数的其他性质的教学,原理同上.

如果我们在平时的教学中,能把握以上三个关键点,那么函数这座堡垒就能轻易攻破.