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函数是初中数学的核心内容,是研究现实世界变化规律的一个重要模型,是数学应用的重要工具,它标志着常量数学向变量数学的迈进.函数所包含的内容十分广泛,它的概念和思维方法又渗透于高中数学的各个部分,是进一步学习的重要基础.它既是重点,又是难点,还是整个中学数学教学的主旋律.

学习函数最重要的是树立函数的观点,既用函数的思想和方法,又用函数的概念和性质解决各类问题.下面我谈谈在初中函数教学中的体会.

一、加强函数概念的教学

1.感知函数观点是认识函数的基础.

学生在小学里学习四则运算时就已经知道,当已知数确定后,运算所得的结果——和、差、积、商是唯一的,当已知数发生变化时,所得的和、差、积、商也相应改变,且有一定的规律.这些规律虽然只局限于某些数量之间的关系,但是为今后学习函数概念建立了感性认知的基础.进入中学,随着代数式、方程的学习又渗透了这一观念.如,含有一个字母的代数式就可看做是它所含字母的函数,这是因为含有一个字母的代数式的值是由这个字母所取的值唯一确定的,它符合函数的定义.因此,在代数式的教学中,要有意识地渗透函数的概念.

2.通过典型丰富的实例引入函数概念,使学生认识到函数问题在客观世界中是大量存在的.

函数的定义要把握三点:

(1)在一个变化过程中,有两个变量,其中一个变量变化时,另一个变量也随着发生变化;

(2)对于自变量X的每个值,因变量Y都有唯一的值与之对应;

(3)因变量Y是自变量X的函数.

在学生清楚函数定义后,通过两道变式练习使学生加深对定义的理解.

3.在几类具体函数的研究过程中,要注重与函数的定义进行对照,不断深化函数概念.

二、强化函数性质的应用

不同的函数有不同的特征,在掌握函数性质的同时,要注重强化学生应用函数性质的意识.应用函数性质时还应注意以下两点:

1.函数与方程、不等式的有机结合.

方程、不等式与函数有着密切的联系,要会用函数的观点看方程、不等式,会利用函数的性质解决有关的问题.如利用一次函数研究一元一次方程的解、二元一次方程组的解、一元一次不等式的解集;利用二次函数研究一元二次方程的解、求解一元二次不等式等.

【分析】(1)方程的解就是抛物线与x轴交点的横坐标;(2)不等式的解集就是抛物线在x轴下方的点所对应的所有自变量x的值.

2.函数在实际问题中的应用.

用函数解决实际问题,更具有典型性和实用性,是中考出题的热点.在教学中应让学生用函数的思想和构造函数的方法解决各类实际问题,增强学生“用函数”的意识,从而提高学生综合运用知识的能力.

例5:(2012年安徽省)甲、乙两家商场进行促销活动,甲商场采用“买200减100”的促销方式,即购买商品的总金额满200元但不足400元,少付100元;满400元但不足600元,少付200元;等,乙商场按顾客购买商品的总金额打6折促销.


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(1)若顾客在甲商场购买商品的总金额为x(400≤x<600)元,优惠后得到商家的优惠率为p(p=优惠金额/购买商品的总金额),写出p与x之间的函数关系式,并说明p随x的变化情况;

(2)品牌、质量、规格等都相同的某种商品,在甲、乙两商场的标价都是x(200≤x<400)元,你认为选择哪家商场购买商品花钱较少请说明理由.

【评注】阅读理解题的解题关键是读懂题意.第(2)小题是利用函数的方案设计问题,一般先根据数量之间的关系建立函数模型,再分类讨论来确定设计方案.

三、抓住“数”与“形”的结合

华罗庚说:“数缺形少直观,形缺数难入微.”数形结合既是深化函数概念的重要手段,又是解决与函数有关问题的一条成功之路,还是数学的重要思想方法.函数图像是函数的直观表示,由它可形象地认识函数的变化状况和发现函数的性质,起到说明、示意形象的作用.因此,在几类具体函数的研究过程中,要始终抓住数与形的结合,即根据函数关系式画出图像,又依靠图像揭示函数的性质.

【析解】当a>0时,直线过一、二、三象限,双曲线过一、三象限;当a<0时,直线过一、二、四象限,双曲线过二、四象限.故选C.考查了由函数关系式画出图像的能力.当然,此题也可用排除法,反过来由图像判断函数关系式.

【点评】本题是二次函数常见的题型.在解题过程中,图像起着至关重要的作用.

四、强调待定系数法

待定系数法是中学数学解题中的一种重要方法,也是解决数学问题常用的数学方法之一.待定系数法在确定各种函数关系式中有着重要的意义,不论是正、反比例函数,还是一次函数、二次函数,确定关系式时都离不开用待定系数法.在用待定系数法求函数关系式时,需要引导学生注意以下两点:

1.明确求函数关系式的一般步骤:

(1)一设:根据已知条件设出含有待定(未知)系数的函数关系式;

(2)二代:把自变量与函数的对应值代入函数关系式中,得到关于待定系数的方程或方程组;

(3)三解:解方程(组)求出待定系数的值;

(4)四回:将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的关系式.


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2.在设函数关系式时,要注意不同类型的函数其待定系数的个数是不同的,因而所需要的条件的个数是不一样的.如正比例函数y等于kx和反比例函数y等于,分别只有一个未知的系数,因此只需要一个条件建立方程;一次函数y等于kx+b中有两个未知的系数,因此需要两个条件建立方程组;而二次函数的形式丰富多样,有一般式、顶点式,甚至有的还可以借助两根式设定,在一般式中还有几种特殊式,因此要根据具体情况设定.

用待定系数法求函数关系式,给出的条件常有以下几种方式:

(1)已知函数关系式中变量的对应值;

如在一次函数y等于kx+b中,当x等于1时,y等于3;当x等于-1时,y等于7,求这个一次函数关系式.

(2)已知函数图像经过的点坐标;

如:已知二次函数的图像经过三点:(0,-2)、(1,0)、(2,3),求这个二次函数关系式.

(3)直接给出函数的图像及图像上的部分点的坐标;

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如:函数的图像如图所示,分别求出它们的关系式.

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(4)在二次函数中,结合抛物线顶点坐标公式的特点.

如:已知一个二次函数的图像经过点(4,-2),并且当x等于6时有最大值-4,求这个二次函数关系式.

总之,函数内容是有层次展开的,在整个学习过程中始终贯穿了掌握函数概念,认识函数图像、性质,运用函数性质解决问题这条主线.函数思想方法的渗透是一项重要的任务,必须在教学中经常做这一方面的工作,持久地关注它,这样才能使学生在潜移默化中树立函数思想,不断地提高学生的数学素质,达到开发智力、培养能力的目的.

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