数学教学在变换中

现今的数学教学在考查知识的同时,也加大了对学生思维能力的考查.许多问题需要学生凭借灵活的思维去独立解决,这显然不是题海战术所能应付得了的.培养学生通过自我的独立思维解决问题的能力应始终是数学课堂教学的出发点,也是落脚点.为此,在平时的教学中,教师不仅要精心选题,更要善于变换问题,让学生学会举一反三的思维方法,触类旁通,提高教学质量.

一、逆向变换

所谓逆向变换,是指将已知条件与未知条件进行转换,或将一些数学概念、定理、公式进行逆向应用.

例1：已知一个三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直,证明顶点P在平面的射影是底面ABC的垂心.

变换：如果一个三棱锥P-ABC的顶点P,在底面ABC的射影是垂心,能否推出三条侧棱两两垂直?

通过这种变换,可使学生进一步明确三组对棱两两垂直与三条对棱两两垂直的区别以及两条件的强弱,从而澄清某些模糊认识.

例2：已知数列{An}是等比数列,且s3、s9、s6成等差数列,证明a2、a8、a5成等差数列.

变换1：已知数列{An}是等比数列,且a2、a8、a5成等差数列,判断s3、s9、s6成等差数列.

变换2：已知数列{An}是等比数列,则s3、s9、s6成等差是a2、a8、a5成等差的什么条件?

逆向变换对于锻炼学生的逆向思维具有很大作用,特别是对一些概念的判断题.

二、类比变换

类比变换是由数学问题甲联想到与它类似的某个问题乙,然后根据乙所具有的某种性质,来判断或确定甲所具有的性质.要引起警惕的是,类比变换前后的问题形式上往往具有某种相似性,但却有可能是本质上完全不同的两个问题,此时特别要防止出现负迁移现象.

例3：求曲线y等于x3+3x在点P(-2,-14)处的切线方程.

解：因原题中的点在曲线上,故所求切线方程的斜率为k等于f′(-2),所以方程是y-f(-2)等于f′(-2)(x+2),即15x-y+16等于0 .如果上课仅到此为止,学生根本不感兴趣,也失去了该题潜在的解题功能.现作一下微小变动：

变换：求过点p(-2,1)且与曲线y等于x3+3x相切的切线方程.

学生的解答几乎如出一辙:

错解：由f(x)等于3+3得切线的斜率为k等于f′(x),则过点p(-2,1)的曲线方程为y-1等于 f′(-2)（x+2）,即y等于15x+31.

错解分析：变换后点P不在曲线上,故其切线的斜率不再是f′(-2),往往在此处容易犯审题不清的错误.

正确解法之一：设切点坐标为P(x1,y1),则所求切线方程是y-(x3+3x1)等于（3x2+3)(x-x1),然后利用切线过点P的条件确定x1值,最后求得切线方程.

例5：五条线段的长度分别为1,3,5,7,9,从中任选三条,求能构成三角形的概率.

变换1：五条线段的长度分别为1,3,5,7,9,从中任选三条,求能构成锐角三角形的概率.

变换2：五条线段的长度分别为1,3,3,5,7,从中任选三条,求能构成三角形的概率.对于原题及变换1,可让学生进一步明确构成三角形以及锐角三角形所要满足的不同条件.而对于变换2,能使学生澄清有关模糊认识：虽然所取三条线段1,3（1）,5及1,3（2）,5的长度相同,但属于不同的取法.

三、延伸变换

延伸变换是指在原问题上进一步挖掘,深化.如果习题教学仅限于解决此题,就容易形成教学封闭,难以发展学生的思维能力,而习题的延伸变换可以培养学生的发散性思维能力.但在教学中要注意延伸得当,要顾及学生的接受能力.

通过对例6的延伸、演变,可使学生始终处于愉快的探索状态,从而调动学生的积极性,启发学生的思维,提高学生的解题能力和数学素质,同时亦将与该问题相关的内容研究得十分透彻.这种变换经常应用于对课本例题的深入研究.我们常说高考题源于课本,主要有两种方式,一种是原型题,即将课本中的例题原封不动或稍作改编作为试题；另一种是演变题,即以课本中的例题为背景,采用科学的方法变换出来的真命题.我们上面所讲的延伸变换就是第一种方式.

四、增障变换

在原问题中,设置一些干扰原问题解决的障碍因素,这种变换方式称为增障变换.这些干扰因素有的使问题的解决变得不具体,有的是多余刺激,这些都增加了解决问题的难度,但这种变换能够锻炼学生的审题能力和排除障碍能力,亦能增强学生思维的严谨性和解题的严密性.

例7：解关于x不等式x2ax+1＞0.

变换：解关于x不等式ax+1＞0.

显然此题的难度变大了,不确定的因素变多了,它不仅要讨论Δ的正负,还要讨论二次项系数的正负,因而该问题的解决就比原题困难了. 五、组合变换

事实上一些较综合的数学习题都是由几个简单的数学问题有机组合而成的.重视数学问题的组合,有利于提高学生的综合解题能力.

当然,习题的变换远远不止这几种,只要在教学中不就题论题,能对问题进行合理的、有针对性的变换或进行适当延伸,就一定能够激发学生的学习兴趣,充分培养学生的思维能力,同时也可大大提高教师的教学水平.

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编辑/张烨