经济数学模型的构建

[摘 要 ] 经济数学模型是现代经济学语言的表现形式,是研究经济学的重要工具.该文从数学模型的基本概念,经济数学模型的内涵、分类,建立和应用经济数学模型等方面进行简要论述.

[关 键 词 ] 经济学 数学 数学模型经济数学模型

目前,数学方法的应用几乎遍及了经济学的各个领域,极大地促进了经济学的繁荣和发展.数学模型分析已成为现代经济学研究的基本趋向.经济数学模型在研究许多特定的经济问题方面具有重要的、有时甚至是不可替代的作用.经济数学模型方法在经济学日益计量化、定量分析化的今天显得越来越重要.

1.数学模型的基本概念

数学模型是相对于一定的概念、系统或过程而存在的.它是用数学语言表达原型结构、特征即内在联系的模型.例如,用字母、数字或其他有特别含义的数学符号建立起来的等式、不等式、图表、图像以及框图等,都是数学结构,当它们表征一个特定原型时,就是数学模型.总之,数学模型是对实际问题的一种抽象,基于数学理论和方法,用数学符号、数学关系式、数学命题、图形、图表等来刻画客观事物的本质属性与其内在联系.其特点是：明晰的检测定条件、严谨的论证、清楚的结论.运用数学模型可以研究变量之间的关系,探寻事物的变化规律,用可控变量得出必要的结论,从而概括出理论检测说.

1.1 对构建数学模型的要求

（1）有足够的精确度；（2）简单实用；（3）依据充分；（4）尽量借鉴标准形式；（5）具有可控性,易于操作.

1.2 数学建模的过程

（1）模型准备：了解问题的实际背景,明确其实际意义,掌握对象的各种信息.用数学语言来描述问题.

（2）模型检测设：根据实际对象的特征和建模的目的,对问题进行必要的简化,并用精确的语言提出一些恰当的检测设.

（3）模型建立：在检测设的基础上,利用适当的数学工具来刻画各变量之间的数学关系,建立相应的数学结构.

（4）模型求解：利用获取的数据资料,对模型的所有参数做出计算.

（5）模型分析：对所得的结果进行分析.

（6）模型检验：将模型分析结果与实际情况进行比较,以此来验证模型的准确性、合理性和适用性

2.经济数学模型的内涵

当数学模型与经济研究问题有机地结合在一起时,经济建模也就产生了.所谓经济数学模型,就是把实际经济现象内部各因素之间的关系以及人们的实践经验,归结成一套反映数量关系的数学公式和一系列的具体算法,用来描述研究对象的运动规律.在经济领域的数学运用首要的问题是适用性或实践性问题,即能否用所建立的模型去概括某一经济现象或说明某一经济问题.运用经济数学建模来分析经济问题,预测经济走向,提出经济对策已经是大势所趋.

经济数学模型是研究分析经济数量关系的重要工具.它是经济理论和经济现实的中间环节.它在经济理论的指导下对经济现实进行简化,但在主要的本质方面又近似地反映了经济现实,所以是经济现实的抽象.

经济数学模型能起明确思路、加工信息、验证理论、计算求解、分析和解决经济问题的作用.对量大面广、相互联系、错综复杂的经济数量关系进行分析研究,不能离开经济数学模型的帮助.

3.经济数学模型的建立

3.1 理论和资料的准备.经济数学模型的质量首先取决于对经济问题的理论研究状况.理论检测设能否成立、是否正确,关系到模型的成败.合理的理论检测设是模型赖以建立的前提.资料是否充分、可靠和准确,也直接影响经济数学模型的质量与功能.

3.2 建立模型.模型要采取一定的数学形式来反映经济数量关系.任何经济模型都需要有两个基本的构成要素：变量及关系.变量,即经济变量,指所要考虑的相关经济因素.在经济模型中一般存在两类变量,外生变量与内生变量.关系,即指经济变量间的关系.模型就是通过一定的方式将一些变量联接成一个有机系统,从而可以通过这个系统实现不同变量间的彼此相互作用.选定一些经济变量,并建立变量间的关系,这个过程就是建立经济模型的过程.模型不能过于简化,以致不能把握经济现实,又不能过分复杂,以致难于加工处理和管理操作.一个模型抽象或现实到什么程度,取决于分析的需要、分析人员的能力,以及取得资料的可能性.

3.3 求解或模拟试验.以适用的软件（计算程序）在具有一定功能的电子计算机上可以进行各种模拟试验,比较和选择不同的方案.

3.4 分析说明和实际应用.在分析和应用模型时,把模型计算所得出的结论与模型外获得的信息相结合,作出必要的判断.评价模型优劣的标准应该是吻合度（它同被反映的经济数量关系的符合程度）与实用度（进行理论分析、经济预测、政策评价等应用效果）的统一.随着客观经济情况的变化,模型需要不断修改和更新.

经济数学模型是系统方法的具体运用,它的着眼点并不在于反映单个的经济量,而在于说明各个经济量的关系及其共同作用.一个模型就是一个系统.复杂的国民经济往往不是少数几个模型所能反映的,所以需要建立比较完整的模型体系.

4.经济数学模型的应用范围

数学模型在经济中的应用范围是很广的,从应用的目的归纳大致包括四个方面：

(1)观察和预测经济事物的机理变化和发展趋势；

(2)规划和设计经济的现实与未来；

(3)分析和控制经济的运动和概率；

(4)研究和解释经济现象及概率.

5.经济数学模型的分类

反映经济数量关系复杂变化的经济数学模型,可按不同的标准分类.

5.1 按经济数量关系,一般分为数理经济模型、计量经济模型、投入产出模型、数学规划经济模型四种.

数理经济模型主要指用数学语言描述经济问题的模型,其目的在于通过数学工具进行演绎推理从而得到某种经济意义的结果.在数理经济模型中,变量间关系的建立主要是按一定理论或规则的定义来进行,即形成的是定义式.而不是按统计经验或数据间的某种相关性来建立.如果模型的前提条件和依据的有关理论是成立的,那么经过严格数学推导出的结果也必然成立.

计量经济模型就是依据计量经济学的有关理论与方法,在一定经济理论的指导下建立的经济模型.计量经济学是以数学、统计和经济这三种理论为基础发展起来的.因此计量经济模型的一个重要特征是以统计数据为基础,即离开统计数据就无法建立计量经济模型.

投入产出模型的理论基础是投入产出分析理论.投入产出分析以经济生产中的投入要素和产出结果为特定研究对象.投入产出分析基本是以核算恒等式为基础,以系统的部分与总体间存在线性关系为检测设,主要以线性代数为研究工具.投入产出模型反映部门、地区或产品之间的平衡关系,用来研究生产技术联系,以协调经济活动.

数学规划经济模型是以数学规划理论与方法建立的经济模型.数学规划是运筹学的一个重要分支,它的研究对象是数值最优化问题.数学规划模型反映经济活动中的条件极值问题,是一种特殊的均衡模型,用来选取最优方案.

5.2 按经济范围的大小,模型可分为企业的、部门的、地区的、国家的和世界的五种.企业模型一般称为微观模型,它反映企业的经济活动情况,对改善企业的经营管理有重大意义.部门模型与地区模型是连结企业模型和国家模型的中间环节.国家模型一般称为宏观模型,综合反映一国经济活动中总量指标之间的相互关系.世界模型反映国际经济关系的相互影响和作用.

5.3 按数学形式的不同,模型一般分为线性和非线性两种.线性模型是指模型中包含的方程都是一次方程.非线性模型是指模型中有两次以上的高次方程.有时非线性模型可化为线性模型来求解,如把指数模型转换为对数模型来处理.

5.4 按时间状态分,模型有静态与动态两种：静态模型反映某一时点的经济数量关系；动态模型反映一个时期的经济发展过程,含有时间延滞因素.

5.5 按应用的目的,有理论模型与应用模型之分,是否利用具体的统计资料,是这两种模型的差别所在.

5.6 按模型的用途,还可分为结构分析模型、预测模型、政策模型、计划模型.

此外,还有随机模型（含有随机误差的项目）与确定性模型（不考虑随机因素）等等分类.这些分类互有联系,有时还可结合起来进行考察,如动态非线性模型、随机动态模型等等.

6.构建和运用经济数学模型时应注意的问题

数学模型对现实的把握是相对的、有条件的.其运用前提是：有关的经济范畴和经济理论是否正确；检测定是否合理；结论能否进行政伪和检验；对现实是否具有说服力等等.因此,在构建和运用经济数学模型时要注意到：

(1)构建数学模型要对所研究的经济问题作细致周密的调查研究,分析其运行规律,获取其影响因素的数据,明了其中的数量关系,然后才是选取数学方法,建立起数学表达式,最后还需求解、验证.

(2)在经济实际中只能对可量化的事物进行数学分析和构建数学模型,对不可量化的事物只能建造模型概念,而模型概念是无法进行数量分析的.尽管经济模型是反映事物的数量关系的,但必须从定性认识开始,离开具体理论所界定的概念,就无从对事物的数量进行研究.经济上的量是在一定的界定下的量,不是数学中抽象的量.

(3)构建数学模型时要考虑到约束条件.数学方法逻辑严密性和计算准确性的性质决定了任何一个数学模型都要受到若干条件的约束,只有检测定这项条件满足,该数学模型才能成立.而几乎所有的经济理论都是在一定的条件和检测定的情况下才能成立,这就决定了每个经济模型都有受到若干个条件的约束.

(4)根据所搜集的数据建造的数学模型,只能算作一个“经验公式”,其只能对现象做出粗略大致的描述,据此公式计算出来的数值只能是个估计值.

(5)用所建造的数学模型去说明解释处于动态中的经济现象,必须注意时空条件的变化,必须考虑不可量化因素的影响作用以及在一定条件下次要因素转变为主要因素的可能性.