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摘 要:由于计算机专业考研统考课程中无离散数学内容,离散数学在计算机专业教育中越来越不被重视,针对目前离散数学课程在计算机专业教育中逐渐被边缘化的问题,分析了离散数学知识与计算机专业其它核心课程间的内在关系,提出了离散数学内容对计算机专业系统知识具有很强的辐射作用的观点,进一步阐述了离散数学课程在计算机专业教学中的重要地位.

关 键 词 :离散数学;辐射作用;辐射体系;编译原理;数据库

中图分类号:TP3-4

离散数学是现代数学的一个重要分支,也是计算机科学与技术的理论基础,所以又称为计算机数学[1].离散数学研究离散量的结构及其相互关系,通过离散数学的学习,不但可以掌握离散结构的描述工具和方法,为后续课程的学习创造条件,而且可以提高抽象思维和逻辑推理能力,为将来参与创新性的研究与开发工作打下坚实的基础.

离散数学课程所传授的思想、方法与工具,广泛地体现在计算机相关专业的诸领域,从科学计算到数据处理,从计算机科学理论基础到计算机应用技术,从计算机软件与理论到计算机硬件及体系结构,从人工智能到知识系统与工程,无不与离散数学密切相关.由于计算机本身是一个离散结构,它只能处理离散的或离散化了的对象及对象关系,因此,无论计算机科学理论本身,还是与计算机应用密切相关的现代科学的其它研究领域,都面临着如何对离散结构进行数学建模的问题;当然,也需要考虑如何将已建立的离散数学模型进行计算机应用的问题.


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随着计算机专业研究生入学考试中专业课程统考的实行,很多高校的计算机专业对离散数学的教学投入开始缩减,减少课时,降低难度,避重就轻;学生也无法认识与理解离散数学在整个计算机专业课程体系中的重要性,致使离散数学的教学与学习在计算机专业越来越边缘化.实际上,离散数学在各学科领域,特别在计算机相关专业领域有着广泛的应用;离散数学是计算机专业许多专业基础课程,如数据结构、操作系统、编译原理、人工智能、数据库系统原理、算法设计与分析、理论计算机科学基础、软件工程等必不可少的先行课程[2].

作为计算机相关专业数学基础的离散数学,对其它计算机专业基础课程有很强的知识辐射作用.本文致力于从一些计算机专业基础课内容中还原离散数学知识,从而体现离散数学核心内容在计算机专业系统知识中的辐射作用.通过对离散数学辐射作用的介绍,让计算机相关专业的本科生重新认识到离散数学对计算机专业系统知识学习的重要性,从而提高本科生学习离散数学的兴趣,重视自己数学理论基础的巩固和形式思维能力的培养.

1.离散数学辐射体系

离散数学是计算机及相关专业的一门核心课程,它不是一门纯数学课程,而是计算机学科的专业基础课程.离散数学是应计算机科学的发展而形成的一门交叉课程,主要内容涵盖了计算机相关专业对数学的一些基本要求.广义的离散数学主题包括集合论、数理逻辑、关系理论、图论、代数结构、数论、信息论、组合数学等,甚至包含拓扑学、运筹学的内容.有些高校将除拓扑学、运筹学等内容外的主题分为三门课程,即集合论与图论、代数结构与组合数学、数理逻辑.本文谈到的离散数学内容只涉及到数理逻辑、关系理论、集合论、图论以及代数结构.

离散数学课程与后续的计算机相关专业基础课程有着千丝万缕的联系,对其它专业基础课程的影响极其深远,在很多计算机专业课程内容中都会涉及到离散数学知识.无论计算机软件系列专业基础课程,还是计算机硬件相关基础课程,例如编译原理、数据结构、数据库、操作系统、软件工程和计算机组成原理.本文选择这六门计算机相关专业基础课程来阐述离散数学在专业系统知识中的辐射作用,如图1所示的离散数学辐射体系.

在图1中,编译原理的课程内容中就可以还原出全部的离散数学知识结构;数据库的课程内容则可还原出离散数学内容中的关系理论、代数结构、集合论与图论等内容;操作系统、软件工程、数据结构和计算机组成原路中都有离散数学知识辐射的印迹.


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2.离散数学辐射作用

2.1 编译原理中的离散数学

编译原理是计算机相关专业的一门重要专业基础课[3],旨在介绍编译器构造的一般原理和基本方法,课程内容除了形式文法、有穷自动机等编译原理所涉及的基础知识外,其它内容基本上围绕处理程序设计语言的编译器应该具有的各功能模块展开,包括词法分析、语法分析、语法制导翻译、中间代码生成、存储管理、代码优化和目标代码生成.

离散数学的数理逻辑中最重要的内容就是逻辑推理,由前提事实出发,采用相应的逻辑恒等式、永真蕴涵式、推理规则、推理方法等进行不停的推导演绎,最终得到想要的结论,这是一个严格的演绎分析过程.在编译原理中,与这一演绎分析过程相对应的则是语法自上而下分析方法,即从形式文法的开始符号(前提)出发,利用文法规则产生式(永真蕴涵式),采用相应的推理方法(最左或最右推导),最终得到想要的句型或句子(结论).在推理证明中还有一种常用的证明方法,那就是从要求证的最终结论出发,依次为其找到相应的逻辑恒等式、永真蕴涵式、推理规则等作为最终结论或中间结论的依据,即从结论出发追本溯源到前提事实,这是一种典型的归纳逻辑.在编译原理的语法分析中,自底向上的语法分析方法则是归纳过程的代表,即从要得到的句型或句子出发,利用文法产生式规则和推理方法,进行不停的归约,一直到开始符号或失败至,这是一直明显的归纳逻辑推理过程,对应最右推导.

在离散数学的关系理论中,等价关系尤为重要.而在编译原理中,处处有等价原理辐射的痕迹,例如形式文法等价、有穷自动机等价、中间代码表示形式等价等.在编译原理的内容中,有关等价的部分还包括正规文法与正则表达式的等价性、正则表达式与有穷自动机的等价性、正规文法与有穷自动机的等价性.实际上,有穷自动机等价是进行非确定有穷自动机确定化、确定有穷自动机化简的理论基础.

编译原理的很多内容中都使用了形式化技术,最典型的就是状态图刻画有穷自动机、语法树表示语法分析过程,当然在LL(1)文法FIRST集与FOLLOW集计算、算符优先文法的优先函数关系图以及基本块有向图中都体现了离散数学的集合论与图论.在编译原理全部内容中都贯穿了符号串运算,符号串与其上的运算则构成了一个完整的代数系统. 2.2 数据库中的离散数学

数据库技术和系统已经成为信息基础设施的核心技术和重要基础,数据库技术作为数据管理的最有效的手段,极大的促进了计算机应用的发展[4].数据库的数据模型中的关系模型就经典地体现了离散数学中的关系理论,尤其是关系模型中的参照完整性.数据库概念模型描述中使用的实体-联系模型(图)更是生动地呈现了实体型之间的关系.在离散数学中,函数是一类特殊关系,而关系数据理论中的函数依赖则描述了关系模式属性(集)之间的语义关联.数据库中的查询处理与优化的理论基础则是离散数学中等价原理,查询被处理或优化前后在功能和语义上必须满足等价关系.

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与关系模型紧密相连的则是关系代数,这是一类典型的代数系统.关系数据结构是其运算对象,关系操作则是定义在关系上的具体运算,如选择、投影、连接、除等,这些运算都满足封闭性,关系

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操作的输入与输出则都是表示关系数据的集合,因此集合运算中的并、交、差、笛卡尔积等也是关系操作的一部分.关系数据模型中常用的SQL语言则是关系代数的一种具体实现,即一种具体的代数系统.

数据库理论中被集合论与图论辐射到的内容包括:(1)一个关系数据库是关系模式(二维表)的集合;(2)一个关系模式(二维表)就是一个实体集,表中每一个就是一个具体的实体元素;(3)在概念世界中描述实体型以及实体型间关系的实体-联系图;(4)关系查询处理与优化中的查询树.

2.3 其它课程中的离散数学

数据结构是计算机程序设计的重要理论技术基础[5],也是计算机存储与组织数据的方式.数据结构是指相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合,因而,数据结构课程中很多具体的数据结构都是集合,如队列、栈、线性表等.数据结构除描述集合中数据元素的特性外,还要刻画集合中数据元素之间的关系,因此,一般认为,一个数据结构是由数据元素依据某种逻辑联系组织起来的,对数据元素间逻辑关系的描述称为数据的逻辑结构.数据结构课程内容中的树、二叉树以及图等结构则是离散数学图论内容的延续,基于图结构的各种算法,如最短路径、最小生成树、关键路径等,在离散数学和数据结构中都有不同深度的描述.

操作系统课程中的进程状态图为典型的图论内容;操作系统在对进程等对象进行管理时,很多内容涉及到对象间关系,如死锁中进程间时序上的先后关系;操作系统中很多算法都使用到了集合概念,如死锁的解锁算法等.离散数学的核心内容辐射到了操作系统的管理与控制中.

软件工程最终的产物是软件系统,既然是软件系统,在进行软件系统分析与设计时,不可避免要研究系统各部分之间的关系.在结构化分析方法中,有自顶而下和自底而上两类分析方法,自顶而下对应数理逻辑中的演绎逻辑,而自底而上则表示数理逻辑中的归纳逻辑.软件工程内容中同图论有关的包括软件开发模型、软件模块间关系表示、软件测试等.

计算机组成原理作为计算机专业硬件方面的基础课,在学生对计算机的认知方面有着举足轻重的作用.计算机硬件的基础组成单元“逻辑门”等以离散数学中的命题逻辑为基础;计算机处理器的结构形式化等都离不开集合论与图论的参与.实际上,在让学生认知软件与硬件的功能等价性时,则充分体现了软硬件的逻辑等价原理.

3.结论

针对离散数学课程在计算机专业课程体系中越来越边缘化的问题,本文以编译原理、数据库、数据结构、操作系统、软件工程和计算机组成原理计算机专业基础课为例,论述了离散数学在计算机专业综合知识体系中的辐射作用,从而体现离散数学在计算机专业教育中的重要性和必要性.

参考文献:

[1]傅彦,顾小丰,王庆先等.离散数学及其应用[M].北京:高等教育出版社,2007.

[2]耿素云,屈婉玲,王捍贫.离散数学教程[M].北京:北京大学出版社,2002.

[3]张素琴,吕映芝,蒋维杜等.编译原理(第二版)[M].北京:清华大学出版社,2005.

[4]王珊,萨师煊.数据库系统概论(第4版)[M].北京:高等教育出版社,2006.

[5]严蔚敏,吴伟民.数据结构(C语言版)[M].北京:清华大学出版社,2011.

作者简介:胡慧君(1976-),女,讲师,研究方向:智能信息处理;刘茂福(1977-),男,教授,研究方向:自然语言处理.

作者单位:武汉科技大学 计算机科学与技术学院,武汉 430065

基金项目:武汉科技大学教学研究项目(项目编号:2012X46).

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