《实际问题与二次函数(1)》教学设计

摘 要：使学生掌握用待定系数法由已知图象上一个点的坐标求二次函数y等于ax2的关系式；使学生掌握用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系式；让学生体验二次函数的函数关系式的应用,提高学生应用数学的意识.

关 键 词 ：实际问题 二次函数 教学设计

一、创设问题情境

如图,某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型（曲线AOB）的薄壳.它的拱高AB为4m,拱高CO为0.8m.施工前要先制造建筑模板,怎样画出模板的轮廓线呢?

分析：为了画出符合要求的模板,通常要先建立适当的直角坐标系,再写出函数关系式,然后根据这个关系式进行计算,放样画图.

如图所示,以AB的垂直平分线为y轴,以过点O的y轴的垂线为x轴,建立直角坐标系.这时,屋顶的横截面所成抛物线的顶点在原点,对称轴是y轴,开口向下,所以可设它的函数关系式为：y等于ax2（a<0） （1）

因为y轴垂直平分AB,并交AB于点C,所以CB等于2（cm）；又CO等于0.8m,所以点B的坐标为（2,-0.8）.

因为点B在抛物线上,将它的坐标代入（1）得-0.8等于a×22,所以a等于-0.2.

因此,所求函数关系式是y等于-0.2x2.

请同学们根据这个函数关系式,画出模板的轮廓线.

二、引申拓展

问题1：能不能以A点为原点,AB所在直线为x轴,过点A的x轴的垂线为y轴,建立直角坐标系?

让学生了解建立直角坐标系的方法不是唯一的,以A点为原点、AB所在的直线为x轴、过点A的x轴的垂线为y轴建立直角坐标系也是可行的.

问题2：若以A点为原点,AB所在直线为x轴,过点A的x轴的垂线为y轴,建立直角坐标系,你能求出其函数关系式吗?

分析：按此方法建立直角坐标系,则A点坐标为（0,0）,B点坐标为（4,0）,OC所在直线为抛物线的对称轴,所以有AC等于CB,AC等于2m,O点坐标为（2；0.8）.即把问题转化为：已知抛物线过（0,0）、（4,0）、（2,0.8）三点,求这个二次函数的关系式.

二次函数的一般形式是y等于ax2+bx+c,求这个二次函数的关系式,跟以前学过求一次函数的关系式一样,关键是确定a、b、c.已知三点在抛物线上,所以它的坐标必须适合所求的函数关系式；可列出三个方程,解此方程组,求出三个待定系数.

解：设所求的二次函数关系式为y等于ax2+bx+c.

因为OC所在直线为抛物线的对称轴,所以有AC等于CB,AC等于2m,拱高OC等于0.8m,所以O点坐标为（2,0.8）,A点坐标为（0,0）,B点坐标为（4,0）.

由已知,函数的图象过（0,0）；可得c等于0；又由于其图象过（2,0.8）、（4,0）,可得到 解这个方程组得a等于-0.2、b等于0.8,所以,所求的二次函数的关系式为y等于-0.2x2+0.8x.

问题3：根据这个函数关系式,画出模板的轮廓线,其图象是否与前面所画图象相同?

问题4：比较两种建立直角坐标系的方式,你认为哪种方式能使解决问题来得更简便?为什么?

（第一种建立直角坐标系能使解决问题来得更简便,这是因为所设函数关系式待定系数少,所求出的函数关系式简单,相应地作图象也容易.）

请同学们阅读P18例7.

三、课堂练习

P18练习1.（1）、（3）,2.

四、综合运用

例1.如图（略）所示,求二次函数的关系式.

分析：观察图象可知,A点坐标是（8,0）,C点坐标为（0,4）.从图中可知对称轴是直线x等于3,由于抛物线是轴对称图形,所以此抛物线在x轴上的另一交点B的坐标是（-2,0）,问题转化为已知三点求函数关系式.

解：观察图象可知,A、C两点的坐标分别是（8,0）、（0,4）,对称轴是直线x等于3.因为对称轴是直线x等于3,所以B点坐标为（-2,0）.

设所求二次函数为y等于ax2+bx+c,由已知,这个图象经过点（0,4）,可以得到c等于4,又由于其图象过（8,0）、（-2,0）两点,可以得到 ,解这个方程组得a等于 、b等于 , 所以,所求二次函数的关系式是y等于- x2+ x+4.

五、小结

二次函数的关系式有几种形式,y等于ax2+bx+c就是其中一种常见的形式.二次函数关系式的确定,关键在于求出三个待定系数a、b、c.由于已知三点坐标必须适合所求的函数关系式,故可列出三个方程,求出三个待定系数.

六、第一课时作业优化设计

略