三角函数性质理解和简单应用

摘 要 ：通过分析三角函数的图像可以掌握三角函数的性质.在解决三角函数问题是常用数学方法有化归法、换元法、数形结合法.

关 键 词 ：三角函数 性质 应用

前言：三角函数是基本初等函数,它是描述周期现象的重要数学模型.在这部分内容中函数的图像和性质起着至关紧要的作用.下面我以正弦函数为例浅谈三角函数图像和性质的理解和简单应用.

一、通过图像分析正弦函数性质

1.在由正弦函数线做正弦函数曲线的过程中,明确了y等于sinx的最小正周期为之后,常用作图方法即五点作图法画正弦函数曲线.所谓的五点本质上是图像的最高点、最低点以及函数图像和x轴的交点.在正弦函数中这五点分别是（0,0）,（,1）,（π,0）,（,-1）,（2π,0）,用圆滑的曲线把它们连接起来就可以得到正弦函数y等于sinx一个周期的图像.然后再根据函数的周期性向左右两个方向再画几个周期的图像方便观察图像的规律.如下图：

2.通过分析正弦函数的图像特点,可以很容易得到正弦函数y等于sinx的其它性质

（1）定义域

函数的图像是向左右两个方向无限延展的,所以正弦函数的定义域是.

（2）值域

函数图像呈波浪形,具有周期性.函数图像最高到达1,最低到达-1,并且函数图像是连续的,可以确定函数的值域是[-1,1].从函数图像可以看出函数具有周期性,所以正弦函数有无数个极值点.距离y轴最近的最高点（,1）即当x等于时,y取最大值1.根据正弦函数的周期性可以表示出取最大值时所有的x的取值,即当y等于1时,x等于+2kπ,k∈Z.同样的方法就可以写出函数取最小值即y等于-1时,x等于-+2k,k∈Z.

（3）对称轴

由正弦函数图像的最高点或者最低点向x轴做垂线就会发现函数的图像会关于垂线对称.也就是说正弦曲线有无数的对称轴,且相邻的两个对称轴的间距为π即对称周期为π.用一条距离y轴最近的对称轴x等于做参考,根据对称轴的周期性得正弦曲线的对称轴x等于+k,k∈Z,k的每一个取值对应一个对称轴.

（4）对称中心

由中心对称的定义,正弦曲线与x轴的交点都是它的对称中心,坐标可以统一表示为（kπ,0）k∈Z.因为坐标原点也是对称中心,所以正弦函数是奇函数.

（5）单调性

根据单调增函数图像上升和下降的特征规律,确定是正弦函数的一个单调增区间.把这个单调增区间向左右两个方向平行移动个单位它恰好和正弦函数的其它增区间完全重合.根据正弦函数增区间的规律可以表示出正弦函数所有的单调增区间 k∈Z,k的每一个取值就对应一个增区间.同样表示出正弦函数所有的单调减区间 k∈Z.

二、利用正弦函数的图像和性质解决有关y等于Asin（ωx+φ）的问题

解三角函数不等式.

例题：已知f（x）等于3sin（2x+）,f（x）>6,求x的取值范围.

解析：由题目条件可知3sin（2x+） >6,即sin（2x+） >

用换元法令X等于2x+,即可得到sinX>.结合正弦函数y等于sinX的图像

找到sinX>对应的图像位于在直线y等于的上方不包含于y等于sinx的交点.先写

出距离y轴最近的一个区间

2.求三角函数单调区间

例题：已知函数f（x）等于sinx+cosx,求函数f（x）的单调增区间.

解析：通过所学把函数f（x）变形f（x）等于sinx+cosx等于

所以f（x）等于sin（x+）.我们令X等于 x+,函数变为f（x）等于sinX.

根据正弦函数曲线可以得到距离y轴最近的一个增区间-

3.给定区间上三角函数的值域的问题

例题：已知函数f（x）等于sinx（cosx-）,求函数f（x）在的值域.

解析：首先化简函数f（x）等于sinx（cosx-）等于sin（2x+）-,

因为,所以,参照正弦函数的图像,

得到,所以sin（2x+）-.所以函数f（x）的值域为.

结语：我们可以用理解三角函数图象理解三角函数的性质.三角函数虽然有很多性质,但是只要记住了三角函数的图像就可以分析出函数的性质.只要合理的运用换元法、化归法和数形结合法等方法就能比较容易的解决类似y等于Asin（Ωx+φ）的一些问题.