网站原创摘 要 ：本文通过对洛朗定理与留数定理的比较,发现它们虽然都能进行积分计算,但存在复杂与简单、直接与间接的差异,通过分析得到了如下结论,洛朗定理是留数定理进行积分计算的本质和保证,留数定理是洛朗定理进行积分计算的方便应用.
关 键 词 ：洛朗定理,留数定理,积分计算
中图分类号：G642文献标识码：A 文章编号：1673-9795（2014）02（b）-0000-00
一、前言
1. 洛朗定理：设 在圆环域 内处处解析,那么 ,其中 , .特别的,令 ,计算 沿 的积分可转化为求被积函数 的洛朗展式中 的系数 .
2. 留数定理：设函数 在区域 内除有限个孤立奇点 外处处解析, 是 内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线,那么 ,其中 , 为 在 内的洛朗展式中 的系数.
二、问题
洛朗定理是级数理论的重要内容,留数定理是积分理论的的重要内容,两个定理都可以计算复变函数的积分,它们之间有什么关系?初学者往往对此问题感到困惑,这影响了复变函数理论的掌握,以下作者对此问题给出解答,从而让大家对复变函数的重点内容――积分的计算有清晰明了的认识,接下来就通过一个例题来说明这两个定理是如何进行积分计算的.
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三、例题
例. 计算积分 ,其中 为正向圆周 .
解：法1. 因为被积函数的奇点有 , ,故其在 内解析,且 在此圆环域内,所以被积函数在此圆环域内洛朗展式的 的系数 乘以 即为所求的积分值.
,
由此可见 ,故 .
法2. 因为被积函数的奇点有 , ,将圆环域换成 ,函数仍解析, 在此圆环域内,同理可得,
,
由此可见 ,故 .
法3. 因为被积函数的奇点有 , ,都在 内,计算
, ,
故由留数定理,可得
由此可见,利用洛朗定理进行积分的计算时,关键是找到被积函数解析的圆环域,这可以通过讨论被积函数的奇点就不难确定,但需要找到的圆环域包含闭曲线 ,这就不是一件容易的事,初学者往往很头疼.当然,只要找到了这样的圆环域,就可以把函数进行洛朗展开寻找其系数 就行了；而利用留数定理进行积分的计算则需要两步,第一步需要找到 内所有有限奇点,第二步计算留数,当然留数的计算仍需要在奇点的去心邻域内对函数进行洛朗展开.
看起来利用洛朗定理要直接简单,利用留数定理要绕弯,但实质上,由于寻找函数的洛朗展开的解析区域并不容易,而且不确定是那个区域合适,需要具体分析,这使得洛朗定理直接计算积分并不常用；而留数定理虽分为两步,也需要洛朗展开求留数,但都是在奇点的去心邻域展开的,是确定的区域,而且还可以发展延伸出更方便、快捷的计算方法,由于其有规范明确的程序化步骤可循,使得留数定理在积分的计算中易于大家掌握,从而起到了主导的地位.
四、结论
由以上两定理可得, ,所以留数定理是将洛朗定理中 的求法简化,细化为 内每一个孤立奇点处的留数之和,它们的实质是一致的,归根到底,都是利用函数的洛朗展式进行积分的计算,所以洛朗定理是复变函数积分计算的基础和出发点,洛朗定理是留数定理进行积分计算的本质和保证,而留数定理使洛朗定理进行积分计算的方便应用,没有洛朗定理,就没有留数定理,就没有复变函数积分的计算,而没有留数定理,就没有复变函数积分的广泛应用.
注：洛朗定理可以涵盖柯西定理：因为函数在闭曲线内处处解析,故只能在解析点进行泰勒展开,无负幂项,即 ,故 .