用变换***几何题

近几年各类几何图形考试在注重考查基础知识的同时,更注重考查具体情境中对相关几何图形、几何应用的分析与问题的解决,恩格斯说：“数学中的变换,不是无聊的游戏,而是解决实际问题的杠杆”.在证或解有关几何题时,有时候不能直接解答,若能根据几何图形的性质、特征（变换、对称、特殊性、分类）及方法与技巧,将陌生的、未知、难以解决的、不规则图形转化为熟悉的、简单的、已知的、规则图形,或实现零星、孤立的条件有机综合,则能实现问题的解决.

一、巧用变换（平移、旋转）化不规则图形为规则图形

例1 如图1,⊙P内含于⊙O,⊙O的弦AB切⊙P于点C,且AB∥OP.若阴影部分的面积为9π,则弦AB的长为（ ）

解析：两圆内含,阴影部分的面积为9π,如果将⊙P向左平移,与⊙O构造同心圆,此时阴影部分的图形为环形（如图2）,环形的面积为πR2-πr2等于π（R2-r2）等于π（OB2-OC2）等于9π,则此时SCOB已构造成直角三角形,借助数形结合巧妙构建勾股定理求解,即弦AB等于2BC等于

2.

点评：有关弦长计算问题,常过圆心作弦的弦心距,利用半径、弦长的一半及弦心距三边勾股关系求解.在计算有关不规则图形面积时,通常是将这些图形通过割补、剪拼等方法,将它们转化为基本图形的和、差关系,这种化归可以有效解决许多问题,往往会使所求问题化难为易.

例2 如图3分别以正方形ABCD的边AB、AD为直径画半圆,若正方形的边长为a,阴影部分的面积是.

解析：连AC、BD如图4,则绕AD中点将图中②逆时针旋转90°到图中③,将图中①绕AB中点顺时针方向旋转90°到图中④,则原图中阴影部分的面积就和△DBC的面积相等,即图中阴影部分的面积等于S△DCB等于12

S正方形ABCD等于12a2.

点评：有关图形面积的计算,常直接运用图形面积计算公式与间接计算（相关图形面积的加减拼凑）.本题解题关键是把握阴影部分的面积与整体图形（或相关图形）面积之间的关系,通过相关图形的割补或等积变形等,实现不规则图形向规则图形的转化,变换在解题中主要体现在以下两个方面：一是题设条件和结论关系不明显或条件不易集中利用的情形下,通过变换操作起到铺路架桥的作用,二是图形错综复杂,但图形中的量与量之间关系多,这时也可看能否使用变换法,改变部分图形的位置,使题目中隐藏的关系明朗起来,从而找到解题途径与策略.

二、巧用旋转化分散为集中

例3 如图5,边长为1的正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割为四个小矩形,EF与GH交于点P.

点评： 在处理一些几何问题时,有时不能直接解答,如果我们能恰当地运用旋转,使分散、不相关的几何图形重新组合,进而酝酿与构建特殊图形之间的位置、大小或形状,从而使问题得到突破与解决.像本例一类题不但要注意正方形的四边相等,还需要注意夹在平行线段间的平行线段也相等,思考时要仔细分析,观察图中线段之间,角之间的数量关系,位置关系,为解决问题积累素材,创造条件.

三、巧用对称构全等

例4 问题背景 在△ABC中,∠B等于2∠C,点D为线段BC上一动点,当AD满足某种条件时,探讨在线段AB、BD、CD、AC四条线段中,某两条或某三条线段之间存在的数量关系.例如,在图6（1）中,当AB等于AD时,可证得AB等于DC,现在继续探索：

任务要求：（1）当AD⊥BC时,如图6（2）,求证：AB+BD等于DC；

点评：遇到角平分线或者垂线段时,并且证明结论中的线段是角平分线或者垂线段一旁的三角形的一条边时,常借助相关图形（等腰三角形、角、线段、特殊四边形等）对称思想,在另一旁构造此三角形的全等三角形,实现相关图形的翻折,化分散条件为集中,化一般图形为特殊图形.

四、巧用对称最短距离

例5 （1）观察发现

如图8（1）,若点A,B在直线l同侧,在直线l上找一点P,使AP+BP的值最小.

做法如下：作点B关于直线l的对称点B′,连结AB′,与直线l的交点就是所求的点P

再如图8（2）,在等边三角形ABC中,AB等于2,点E是AB的中点,AD是高,在AD上找一点P,使BP+PE的值最小.

做法如下：作点B关于AD的对称点,恰好与点C重合,连结CE交AD于一点,则这

点就是所求的点P,故BP+PE的最小值为

如图8（4）,在四边形ABCD的对角线AC上找一点P,使∠APB等于∠APD.保留作图痕迹,不必写出作法.

解析：（1）首先由等边三角形的性质知,CE⊥AB,在直角△BCE中,∠BEC等于90°,BC等于2,BE等于1,由勾股定理可求出CE等于3.

（2）如图9,作点B关于CD的对称点E,则点E正好在圆周上,连结OA、OB、OE,连结AE交CD于一点P,AP+BP最短,因为AD的度数为60°,点B是AD的中点,所以∠AEB等于15°,因为B关于CD的对称点E,所以∠BOE等于60°,所以△OBE为等边三角形,所以∠OEB等于60°,所以∠OEA等于45°,又因为OA等于OE,所以△OAE为等腰直角三角形,所以AE等于22.

（3）如图10,找B关于AC对称点E,连DE延长交AC于P,（由AC是BE的垂直平分线,可得∠APB等于∠APD）.

点评：本题是课本著名原题“泵站问题”的应用与拓展,对于某些几何问题,将线段之和距离最短的问题酝酿于各种轴对称的基本图形（角、等腰三角形、特殊的平行四边形、圆、坐标系等）中,关键是作出点B或A关于某直线l的对称点,然后利用线段垂直平分线的性质、两点之间线段最短来分析与解决,这样就能将分散的条件集中起来,容易找到解题的策略与途径.