取材于课本的一道高考概率题

教材丰富的内涵是编拟高考数学试题的源泉.高考数学试题大都是由课本例题、习题或阅读材料经过加工、变形、重组、延伸和拓展而成.如2012年高考湖南文科卷第17题就取材于课本,经过加工改造后又高于课本,充分体现了高考命题源于教材又高于教材的指导思想.

高考真题 （2012年高考湖南文科卷第17题）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据,如下表所示.

已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.

（Ⅰ）确定x,y的值,并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；

（Ⅱ）求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.（将频率视为概率）

教材原题 （人教A版高中数学教材必修3第123页第3题）李老师在某大学连续三年主讲经济学院的高等数学,右表是李老师这门课三年来的考试成绩分布.某同学将研修李老师的高等数学课,用已有的信息估计他得到60分以上的概率.

解答过程 （解法1）记A为事件“某同学高等数学考试成绩在60分以上”,A1,A2,A3 ,A4分别表示事件“该同学成绩在90分（含）以上”, “该同学成绩在80～89分”, “该同学成绩在70～79分”, “该同学成绩在60～69分”.频率接近于概率,我们可以用频率去估演变过程 近年来,高考概率题大都以图表的形式展示出来,丰富的信息隐藏在图表中.考生只有读懂图表,才能准确、快捷地完成解答.有的同学读不懂题意,一头雾水,殊不知图表型概率题不但源于生活,也源于我们的教材.这道高考题将教材的背景题移花接木,改头换面,并对考查的知识面进行拓宽.

改造1：变换命题背景,将教材原题中的成绩分布问题改造为购物结算时间问题.

改造2：增设已知条件,与教材原题相比,不但有购物件数和相应的人数,还增加了结算时间,如此改造后,丰富了问题的情景,也增加了思考的维度和层次.

改造3：增设了未知量,将教材原题的条件隐蔽化、间接化,加大了对思维的考查力度.

改造4：教材原题的考查方向相对单一,改造后的高考题不但考查互斥事件的概率问题,还考查频率、频数及样本平均数的计算等统计知识,立足于知识交汇点处对教材原题进行改造拓展,体现了高考命题“源于教材,又高于教材”的理念,突出高考试题的选拔性.

另外,教材原题还可以进行如下改造拓展.

改造5：改变已知条件中信息的呈现方式,可将等候结算的时间再细分出0.5分钟这一档,将题中信息以直方图的形式呈现出来,要求考生根据频率分布直方图进行求解.这样信息量更大,考查知识点更多,对能力要求更高.这一类型的问题也是当前高考概率题的考查方向之一,应当引起考生的高度重视.

改造6：改变设问的方式.（Ⅰ）确定x,y的值,并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；（Ⅱ）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算,且各顾客的结算相互独立,求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率.于是我们得到2012年高考湖南理科卷第17题.其解答过程如下.

甘学军,中学高级教师,湖南省优秀教师,长沙市华天奖优秀教师.参加工作以来,积极投身教改科研活动,至今在省级和国家级报刊上发表文章20余篇,并有10多篇文章在国家和湖南省专业学会论文评比中获奖,应邀担任多家杂志的特约编辑.

（责任编校 周峰）