行列式计算中的一题多解问题

【摘 要】 行列式在高等代数这门课中,作为独立篇章,有着举足轻重的地位.每道行列式计算的题,都有不止一种解答的方法.我们以一道常见题为例,针对行列式计算的“一题多解”问题进行学习.

【关 键 词 】 高等代数 行列式 一题多解

行列式的计算是高等代数课程中最简单最基本的.方法很多,如：三角形法、递推法、升阶法、降阶法、数学归纳法、特征值法等十余种方法.我们以下面这道简单的习题为例,研究其中的几种计算方法.

例：计算n阶行列式

分析1：此行列式的每一列都含有一个x和个,若把各行都加到第一行上去,第一行就出现一个公因式.提取这个公因式后第一行的元都是1,再将第一行乘加到其余各行,就可把化为三角形行列式来计算.

解法1：把的第2,3,等,n行都加到第1行上去,再从第1行

中提出公因式,得等于

将第1行乘后分别加到第2,3,等,n行,得

等于等于

分析2：因为行列式主对角线下方的元都是a.因此可对采用增阶的方法来计算,即在中添加一行及一列特殊的元,使新的阶行列式与相等,且这个阶行列式较易于计算.

解法2：把增加1行1列,成为与相等的阶行列式：

等于

将第1行乘以后分别加到第2,3,等,行上去,再从第2,3,等,列提出因式,然后将第2,3,等,列加到第1列,得：等于等于等于

等于等于

当时,,以上结果也是对的.

【注】 因为主对角线以外的元都是a,主对角线上的元为x,若将第1行乘后分别加到其余各行,然后再将各列都加到第1列.也可将化为三角形行列式.

分析3：若把第1列的元都写成两个数之和的形式,把拆成两个行列式之和,经过适当变换可把用低于n阶的同类型的行列式来表示,然后可用递推法计算.

解法3：因为,所以

等于等于

将第1个行列式按第1列展开,第2个行列式第1行乘后分别加到其余各行,得等于

同理,等于,于是

如此继续下去,可得

等

这个行列式的三种解法都很自然.解法1是直接利用行列式的性质,将行列式化简后计算的.是最基本、最简单的计算方法.经常使用.解法2比较灵巧,它的巧妙之处是所加入的行的第1个元是1而其余的元是a,所加入的列的第1个元（它也是第1行的第1个元）是1而其余的元是0,这样既可以保持原行列式的值,又便于将右下角的n阶子式化成三角形行列式,计算方便.解法3将左上角的元x写成,这样就可将拆成两个行列式之和.经适当计算后可把用类型相同的阶行列式来表示,这样递推下去就可求得行列式的值.