利用一题多变进行数学中考复习

[摘 要 ]利用一题多变的方式进行中考数学复习,能够激发学生学习数学的兴趣,锻炼学生的独创性与灵活性,使其真正成为学习的主人.对提高中考成绩也是较大的帮助,教师也能收到事半功倍的效果.

[关 键 词 ]一题多变；数学；学生；变式一题多变,可以从不同的解题思路上多变,也可以从题型的角度多变,通过这样的一题多变,可以“以少胜多”,巩固更多的基础知识.另外,利用一题多变,对一道数学题进行联想、或类比、或推广,可以得到一系列新的题目,甚至得到更不一般的结论,积极开展变式题的训练,有助于学生应变能力的养成,培养学生发散思维的形成.同时,一题多变还能够激发学生学习数学的兴趣,锻炼学生的独创性与灵活性,使其真正成为学习的主人.下面是笔者就初中数学的一题多变问题,略举两例,谈谈自己的拙见.

【例1】已知：如图1,点C为线段AB上一点,△ACM、△CBN是等边三角形.求证：AN等于BM

证明：∵△ACM和△CBN是等边三角形

∴MC等于AC,CN等于CB,∠CAN等于∠MCB

∴ △ACN≌△MCB

∴AN等于BM

【变式1】在例1中,连接DE,求证：（1）△DCE是等边三角形；（2）DE∥AB

分析：（1）可证△ADC≌△MEC,则DC等于EC,因为∠DCE等于600,所以△DCE是等边三角形.

（2）由（1）容易证明∠EDC等于∠ACM等于600,所以DE∥AB

【变式2】例1中,连接CF,求证：CF平分∠AFB

分析：过C点作CG⊥AN于G,CH⊥BM于H,由△ACN≌△MCB,可得CG等于CH,所以CF平分∠AFB

【变式3】如图2,点C为线段AB上一点,△ACM、△ACN是等边三角形,P是AN的中点,Q是BM的中点,求证：△CPQ是等边三角形.

证明：∵△ACN≌△MCB ∴AN等于BM,∠ABM等于∠ANC

又∵P、Q分别是AN、BM的中点

∴△BCQ≌△NCP ∴CQ等于CP,∠BCQ等于∠NCP

∴∠PCQ等于∠NCP+∠NCQ等于∠BCQ+∠NCQ等于∠NCB等于600∴△CPQ是等边三角形

【例2】如图3,要在燃气管道L上修建一个泵站,分别向A、B两镇供气,问泵站修在什么地方使所用的输气管线最短?

分析：设泵站应建在P处,取点B关于L的对称点B、,如图3,PB?等于PB,要使PA+PB最小,只要PB?+PA最小,而两点之间距离最短,连接AB?与L的交点P,即是泵站所建的位置.本题特点：一直线同旁有两定点,关键要在直线上确定动点的位置,使动点到定点的距离之和最短,我们常常把这类问题称作“泵站问题”.

【变式1】如图4,在△ABC中,AC等于BC等于2,∠ACB等于900,D是BC的中点,E是AB边上一动点,则EC+ED的最小值是__________.

解析：C、D是两定点,E是在直线AB上移动的一动点,以CA、CB为边作正方形ACBF,则C关于AB的对称点一定是F,连接DF交AB于E,这时EC+ED最小.因为D是BC的中点,在直角三角形△FBD中, BC+ED等于ED+EF等于DF等于BD2+BF2等于22+22等于5

【变式2】如图5,点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上一动点.M、N分别是AB、BC边上的中点,则PM+PN的最小值为__________.

分析：M、N是两定点,P是在直线AC上移动的一动点,作N关于AC的对称点G,由于四边形ABCD是菱形,所以G一定在DC上,且为DC的中点,连接MG交AC于P,四边形AMGD为平行四边形,连接PM、PN,则PM+PN最小,有 PM+PN等于PM+PG等于MG等于BC等于1

【变式3】如图6,梯形ABCD中,AD∥BC,AB等于CD等于AD等于1,∠B等于600,直线MN为梯形的对称轴,P为MN上的一点,那么PC+PD的最小值为__________.

解析：C、D是两定点,P是直线MN上一动点,因为图形ABCD中,AD∥BC,AB等于CD等于AD等于1,所以四边形ABCD为等腰梯形,而直线MN为梯形ABCD的对称轴,则D关于MN的对称点是A点,连接AC交MN于点P,连接PD,则有PA等于PD,要使PC+PD的值最小,就要使PA+PC最小,所以PC+PD等于PA+PC等于AC,因为∠B等于600,可证得 为直角三角形,AC等于ABtan∠B等于1×tan600等于3,则PC+PD的最小值为

【变式4】如图7,已知⊙O的半径为r,C、D是直径AB同侧圆周上的两点,弧AC的度数为960,弧BD的度数为360,动点P在AB上,则CP+PD的最小值为__________.

解析：如图,设D、是D关于直径AB的对称点,连接CD、交于P,则P点使CP+PD最小.弧CD的度数为1800-960-360等于480 ,弧CD、的度数为1200,所以 ∠COD等于1200从而容易求得CP+PD等于CD'等于3r,所以CP+PD的最小值为 3r

教学实践证明,通过对数学问题的一题多变,提供恰当的知识铺垫,向学生展示知识的发生、形成及发展的过程,能让学生体会到知识是如何从已有知识中逐渐演变或发展而来的,从而理解知识的来龙去脉,形成一个知识网络.将这种有层次推进的变化方式用于概念形成、问题解决和构建活动经验系统,可以帮助学生融会贯通,构建起良好的知识结构,培养灵活解决问题的能力,避免反复的机械训练,同时又让学生领略到数学的和谐、奇异与美妙,使他们自发地投入到学习中去,真正成为学习的主人.