数学开放题的解题策略

开放题是数学教学中的一种新题型,它是相对于传统的封闭题而言的.开放题的核心是培养学生的创造意识和创造能力,激发学生独立思考和创新的意识,这是一种新的教育理念的具体体现.现行数学教材中,习题基本上是为了使学生了解和牢记数学结论而设计的,学生在学习中缺乏主动参与的过程.那么在教材还没有提供足够的开放题之前,好的开放题从那里来?我认为最现实的办法是让“封闭”题“开放”.

一、开放问题的构建

有了开放的意识,加上方法指导,开放才会成为可能.开放问题的构建主要从两个方面进行,其一是问题本身的开放而获得新问题,其二是问题解法的开放而获得新思路.根据创造的三要素：“结构、关系、顺序”,我们可以为学生构建由“封闭”题“开放”的如下框图模式：

[例1]已知a,b,c∈R+,并且,a

除教材介绍的方法外,根据目标的结构特征,改变一下考察问题的角度,或同时对目标的结构作些调整、重新组合,可获得如下思路：两点（b,a）、（—m,—m）的连线的斜率大于两点（b,a）、（0,0）的连线的斜率；b个单位溶液中有a个单位溶质,其浓度小于加入m个单位溶质后的浓度；在数轴上的原点和坐标为1的点处,分别放置质量为m、a的质点时质点系的重心,位于分别放置质量为m、b的质点时质点系的重心的左侧等.

[例2]用实际例子说明

所表示的意义

给变量赋予不同的内涵,就可得出函数不同的解释,我们从物理和经济两个角度出发给出实例.

（1）X表示时间（单位：s）,y表示速度（单位：m/s）,开始计时后质点以10/s的初速度作匀加速运动,加速度为2m/s2,5秒钟后质点以20/s的速度作匀速运动,10秒钟后质点以—2m/s2的加速度作匀减速运动,直到质点运动到20秒末停下.

（2）季节性服饰在当季即将到来之时,呈上升趋势,设某服饰开始时定价为10元,并且每周（7天）涨价2元,5周后开始保持20元的平稳销售,10周后当季即将过去,平均每周削价2元,直到20周末该服饰不再销售.

函数概念的形成,一般是从具体的实例开始的,但在学习函数时,往往较少考虑实际意义,本题旨在通过学生根据自己的知识经验给出函数的实际解释,体会到数学概念的一般性和背景的多样性.这是对问题理解上的开放.

三、开放问题的探索

开放的行为给上面三个简单的问题注入了新的活力,推陈出“新”、自己给自己出题是人自我意识的回归.开放的过程说白了就是探索的过程.以下以《解析几何》教材上的一道例题为例来看开放问题的探索.

[例3]由圆x2+y2等于4上任意一点向x轴作垂线.求垂线夹在圆周和x轴间的线段中点的轨迹方程.

问题本身开放：先从问题中分解出一些主要“组件”,如：A、“圆x2+y2等于4”；B、“x轴”；C、“线段中点”等.然后对这些“组件”作特殊化、一般化等处理便可获得新问题.

对A而言,圆作为一种特殊的曲线,我们将其重新定位在“曲线”上,那么曲线又可分解成大小、形状和位置三要素,于是改变条件A（大小或形状或位置）就可使问题向三个方向延伸.

如改变位置,将A写成“（x—a）2+（y—b）2等于4”,即可得所求的轨迹方程为（x—a）2+（2y—b）2等于4；再将其特殊化（取a等于0）,并进行新的组合便有问题：圆x2+（y—b）2等于4与椭圆x2+（2y—b）2等于4有怎样的位置关系?试说明理由.

简解：解方程组

得 y等于0 或y等于2b/3

当y等于0时,x2+b2等于4,

（1）若b<—2或 b>2,圆与椭圆没有公共点；

（2）若b等于±2,圆与椭圆恰有一个公共点；

（3）若 —2

当y等于2b/3时,x2+b2/9等于4,

（1）若b<—6或b>6,圆与椭圆没有公共点；

（2）若b等于±6,圆与椭圆恰有一个公共点；

（3）若—6

综上所述,圆x2+（y—b）2等于4与椭圆x2+（2y—b）2等于4,当b<—6或b>6时没有公共点；当b等于±6时恰有一个公共点；当—6

上面的解法是从“数”着手,也可以从“形”着手分析.

再进一步延伸,得：当b>6时,圆x2+（y—b）2等于4上的点到椭圆x2+（2y—b）2等于4上的点的最大距离是多少?这个问题的解决是对数形结合、等价转化等思想的进一步强化.

对B而言,它是一条特殊的直线,通过对其位置的变更可产生许多有意义的问题；而C是一种特殊的线段分点,同样可以使其推广到一般,具备对“封闭”题“开放”的意识的学生,事实上就有了创造意识,这种意识驱动下的实践自然会使创造力得以发展；同时,随着高考命题改革的进一步深入,我想这样的“开放”会在高考中更显示其生命力.