初中几何证题的思维途径

几何学是按公理的方法建立起来的严密而完整的数学理论,是以推理论证和计算论证为主要手段的自然科学.证题的思维途径是证题时分析思考所遵循的理路,它抛开了思维的具体内容,只研究思维的过程,在几何法中表现为逻辑推理的路子,在计算证法中是计算推导论证的路子.这个推论分析的过程是通过思维完成的,因此称为证题的思维途径.思维途径是证题法的基础,任何证题法都离不开思维途径的.不管那种证题法和增作辅助线,都是通过思维途径进行分析而得来得,又是通过思维途径去实现的.

按照思维途径与因果关系的顺逆,分为顺推论思路、逆求因思路和逆顺夹攻思路.

1.顺推论思路

顺推论思路就是从问题的条件入手,根据有关公理和基本定理推出或计算出应有的结论,是由因论果的过程,也是推求事理必要条件的过程.对于一些简单证题,只要一步就可推出应有的结论来,当问题稍复杂些,一步就不行了,往往需要两步、三步或更多步.这个过程可叙述为：根据公理、定理和几何的性质,从已知条件推出结论A,如果结论A,不是问题的解；再把结论A当做已知条件推出结论B,经对比,问题仍不得解,再把结论B当做已知条件重复上述工作,直到问题得解为止.这个模式可表述为：

已知条件结论A结论B结论C所求结论.得解.

例题一：已知BA、BC、BD为过B点的三条线段,又知AD∥EG,CD∥FG,求证：EF∥AC.

分析：

已知AD∥EG,CD∥FG,据平行线的性质,进行第一次推论：可得两个结论,各相应的同位角相等；被平行线分割的线段成比例：

BFFC等于BGGD,BEEA等于BGGD.因为利用各相对应角的关系很难向下推导,所以只好利用比例线段做第二次推论：由上两式得BFFC等于BEEA即得：BFBC等于BEAB又∠EBF共用,得△EBF∽△ABC,由相似形对应角相等,知∠CAB等于∠FEB.于是EF∥AC,同位角相等两直线平行,得解：

证明：∵AD∥EG,∴BEEA等于BGGD.（1）

∵CD∥GF,∴BFFC等于BGGD.（2）

比较（1）式与（2）式,得BEEA等于BFFC.

∵BEBA等于BFBC,又∠EBF公用.

∴△ABC∽△EBF,∴∠CAB等于∠FEB,

∴EF∥AC.

2.逆求因思路

在某些情况下,逆着因果关系的逻辑顺序进行分析可使问题迅速得解,这种逆逻辑思路,称为逆求因思路,这种思路是从结果逆求原因,由结论逆求条件.先检测定求证结论是正确的,再逆求其成立的条件,从逻辑上看,它是逆求事理的充分条件.

逆求因思路是逆求原因,而不是逆推结论.因为逆求出的是原因,而逆推出的是结果,前者是充分条件,后者是必要条件.只有当所证事理的条件与结论是充分而必要的关系时,逆推才是正确的,否则就是错误的.逆求因与逆推论是两个概念,这里所讲的是逆求因,是逆求事理的充分条件.

对于简单的问题逆求一步就可以解决,对于复杂的问题往往需要许多步才行.其过程为：检测定所求结论正确,逆求其成立的条件A,如果条件A不是问题的解：再把条件A看做结论,逆求其成立的条件B,与已知条件相比较,若相同,则得解；若不相同,再继续上述工作,直至相同为止,这个模式可表示为：

由所求结论条件有关定理条件A有关定理条件B有关定理条件C等于等于已知条件.

得解.

例题二：检测设AB∥CD,∠1等于∠2,求证：EB∥CF.

分析：欲证EB∥CF由平行线的判定定理：两条线段与第三条线相交,若内错角相等,则两直线平行.知,只须证∠EBC等于∠BCF即可.又知∠1等于∠2,因此,欲证∠EBC等于∠BCF,只须证∠1+∠EBC等于∠2+∠BCF,这表示一对内错角相等,故得到第三步逆求：只须证AB∥CD,对照已知条件AB∥CD,两者相同,得解.

证明：∵AB∥CD,∴∠ABC等于∠DCB,

亦即∠1+∠EBC等于∠2+∠BCF,

又∠1等于∠2

∴∠EBC等于∠BCF.

∴EB∥CF.

这个例题虽然简单,但它却清楚地说明逆求因思路的分析过程,如果由结果追溯原因.但叙述起来比较噜嗦,因此,证明的记叙,多以顺推论思路为好.

3.逆顺夹攻思路

所谓逆顺夹攻思路,就是一方面从结果逐步逆求条件,另一方面从已知条件逐步推导结论,形成夹攻之势,这种思路称为逆顺夹攻思路.对一些复杂的、难解的问题常使用之.其详细过程为：检测定所求结论正确,逆求所需要的条件A,把条件A当做结论,逆求其条件B,由条件B逆求条件C,如果再逆求遇到困难或无法逆求时,便停下来,把条件C当做求证结论,再从已知条件分析.由已知条件,推出结论A,由结论A再推出结论B,与条件C相对照,若相同,则得解,若不相同,再继续推导,直到所得结论与逆求出的条件C相同为止.这个模式可表示为：

由所求结论条件A条件B条件C,

由已知条件结论A结论B结论C,

若条件C等于等于结论C.得解.

在证题过程中,以逆求因思路为主,在某一局部上采用顺推论思路,也称为逆顺夹攻思路.

例题三：已知AD,BC延长交于E点,作ME∥AC交BD延长线于M点,作MT切圆于T点.

求证：ME等于MT.

分析：欲证ME等于MT只须证MT2等于MDoMB（切、割线定理）和ME2等于MDoMB（△MED与△MBE相似）.

已知ME∥AC,∴∠MED等于∠DAC,从DC⌒所对的圆周角∠A等于∠B,可推出∠MED等于∠MBE.又∴∠DME共用,故可推出△MED∽△MBE.这就找到了比例线段.

证明：已知ME∥AC.

∴∠MED等于∠DAC.

又∵∠DAC等于∠MBE,

∴∠MED等于∠MBE,且∠DME共用,

∴∠MED∽△MBE,

∴MD∶ME等于ME∶MB,

即ME2等于MDoMB.

又MT2等于MDoMB,

∴ME等于MT.

本题就是逆顺夹攻思路得解的.

综合以上所述,在分析推理上,逆求因思路优于顺推论思路.在记叙上,顺推论思路较为简明.对于复杂的、难、偏题,逆顺夹攻思路更为优越.因此,应首先运用逆求因思路进行分析,如果顺利就继续作下去,如果不行,就使用逆顺夹攻思路,这样才能灵活机动.而证明的叙述仍按顺推论思路的顺序记录下来.在推论中有时也会误入歧途,关系越分析越复杂,这时应当立即停止,改变方向另求思路.