一元二次方程题探究

点赞:20173 浏览:93665 近期更新时间:2024-01-24 作者:网友分享原创网站原创

摘 要 :一元二次方程是初中阶段数学教学的重点,更是难点.其之所以是难点,概括地说:既难教又难学.在初中数学中已开始涉及列一元一次方程解应用题的教学内容,现以与一元二次方程的解及解法有关的创新题提出有效的教学方法.

关 键 词 :开放探究型;新运算型;选择型;解法纠错型

中图分类号:G633.6 文献标识码:A 文章编号:1992-7711(2013)30-0121

近年来,中考试题更加灵活和开放,有关一元二次方程的创新题也闪亮登场,并且作出了新的尝试,使得方程的命题内容更加丰富、形式更加多样,这对培养学生自主探索及创新能力起到了良好的导向作用.现以与一元二次方程的解及解法有关的创新题举例说明如下:

一、开放探究型

例1.(2006年湖南常德)已知一元二次方程有一个根为2,那么这个方程可以是_____(填上你认为正确的一个方程即可).

解析:这是一道考查学生发散思维能力的试题,其答案不惟一,因此解答这类试题必须借助“定义既是判定定理,又是性质定理”的思路进行逆向操作,也就是说须执果索因.


首先构造方程的一个根为x等于2,然后在x等于2的两边同时乘以x,展开得x2-2x等于0;或在x等于2的两边同时乘以x-3,得x(x-3)等于2(x-3),展开得x2-5x+6等于0.

故填x2-2x等于0或x2-5x+6等于0等.

评注:本题若不能执果索因,而盲目地写出一系列一元二次方程,然后检验2是不是所列的一元二次方程的根,不仅浪费时间,更不是正确的思维方法,需要得到进一步的纠正.

二、新运算型

例2.(2006年甘肃兰州)在实数范围内定义一种运算“*”,其规则为a*b等于a2-b2,根据这个规则,方程(x+2)*5等于0的解为 .

解析:本题对“*”的理解是解题的关键,理解透了,与常规的方程解法区别不大.仿照规则a*b等于a2-b2,不难得方程(x+2)2-52等于0,此为一元二次方程,可解得x1等于3,x2等于-7.故填x等于3或x等于-7.

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评注:特殊定义的运算是指我们规定的一些非常规的运算.在这种运算中,只需根据其规定的含义进行常规的运算即可.“新运算”实现了从知识立意向能力立意的过渡,突出了对学生数学素养的考查.

三、选择型

例3.(2006年铜川市)先从括号内①②③④备选项中选出合适的一项,填在横线上,将题目补充完整后再解答.

如果a是关于x的方程x2+bx+a等于0的根,并且a≠0,求

的值.

①ab ② ③a+b ④a-b

解析:留空回填、完善试题、类似于选择,是中考试题中新的亮点,解答这类问题应着眼题设条件,看能推出何种结果.本题可直接由一元二次方程根的定义,得a2+ba+a等于0,因为a≠0,所以a+b+1等于0,即a+b等于-1.因此应选填③.

四、解法纠错型

例4.(2006年湖州市)阅读下面的解题过程,判断是否正确,若有错误,写出正确答案.

已知m是方程mx2-2x+m等于0的一个根,求m的值.

解:把代入原方程,化简得,两边都除以,得.∴.

把m等于1代入原方程检验,可知m等于1符合题意.

答:m的值是1.

剖析:本题主要考查二次项系数含有参数的方程根的意义,方程同解变形(方程解法)和分类谈论的数学思想方法.由于已知方程即可以是一次方程也可以是二次方程,所以在m3等于m中,m可以为0,两边同时除以m,便失去一根;由m2等于1知,m等于±1.因此m1等于0,m2等于1,m3等于-1把得到的解分别代入原方程检验,均符合题意.

解:上述解法有错误,正确的解法是:

把x等于m代入原方程并化简,得m3等于m,即m(m-1)(m+1)等于0,

解得m1等于0,m2等于1,m3等于-1.把m的三个值分别代入原方程检验,均符合题意.

答:m的值是0,1,-1.

五、规律探究型

例5.(2006年海淀区)已知下列n(n为正整数)个关于x的一元二次方程:

<1>x2-1等于0; <2>x2+x-2等于0;

<3>x2+2x-3等于0 等 x2+(n-1)x-n等于0

(1)请解上述一元二次方程<1>、<2>、<3>、

(2)请你指出这n个方程的根具有什么共同特点,写出一条即可.

解析:(1)分别用因式分解法解下列方程,可得

<1> ∵(x+1)(x-1)等于0,∴x1等于-1,x2等于1;

<2> ∵(x+2)(x-1)等于0,∴x1等于-2,x2等于1;

<3> ∵(x+3)(x-1)等于0,∴x1等于-3,x2等于1;等

∵(x+n)(x-1)等于0,∴x1等于-n,x2等于1.

(2)观察、比较、分析,可知共同特点是:都有一个根为1;都有一个根为负整数;两个根都是整数根,等等.

评注:本题从教材要求的基本知识出发,探索具有某种特点的方程的解题规律及方程根与系数之间的关系,注重了对学生观察、类比及联想等数学思想方法的考查.

(作者单位:贵州省遵义县山盆中学 563119)