与线性规划交汇题

摘 要：线性规划是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支,线性规划是直线方程的一个简单应用,它与解析几何、向量、不等式、概率可交汇进行综合命题.

关 键 词 ：线性规划；几何向量；交汇题

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2012）21-263-03

纵观近些年的高考题,细细品味发现：重视在“知识的交汇处命题”是高考数学命题的一大特点,因为知识的交汇处既体现了知识的内在联系,又能更好考查学生的数学综合能力.本人结合自己的教学体会和2011年江西省各地模拟试题及全国各省高考题,对其中的线性规划题作一简单归纳.

1.线性规划与解析几何交汇

例1：（江西省南昌市2011届高三第三次联考）已知x,y满足不等式组 ,则 的最小值为（ ）

A. B. 2 C. 3 D.

分析与简解：

欲求最小值的式子可化为 ,即表示区域内动点（x,y）与定点（-1,1）的距离的平方,故画出线性约束条件下不等式组所表示的平面区域,如上图,易知问题可转化为求点（-1,1）到直线y等于x的距离的平方,易算得2,故选B.

归纳：线性规划能很好地把数与形结合起来,故它与解析几何交汇很自然,此类题首先要准确画出不等式组表示的平面区域,即完成由数到形的转化,然后根据式子的几何意义,直观观察求得相关结论.

（1）（江西省吉安市2011年高三期末联考卷）若点P在区域 内,则点P到直线 距离的最大值为______

（2）（江西省上饶市重点中学2011届高三联考）设 ,若实数x,y满足条件 ,则 的最大值是_______.

（3）（江西省2011届高三九校联考）设x,y满足约束条件 ,则 的取值范围是（ ）

A. B.

C. （ ） D.

2.线性规划与函数,方程交汇

例2：（江西省八所重点中学2011年高三联考）已知函数f（x）的定义域为 ,且f（6）等于2,f/（x）为f（x）的导函数,f/（x）的图象如上图所示,若正数a,b满足f（2a+b）<2,则 的取值范围是（ ）

A. B.

C. D.

分析与简解：

由导函数图象知, ,f（x）递增,故由f 可知： ,作出可行域△ABO内部,如上图所示,易知 表示区域内点（a,b）与定点P（2,-3）连线的斜率,易求得 ,故选A.

例3：（江西省新余一中2011届高三六模）已知函数 的一个零点为x等于1,另外两个零点可分别作为一个椭圆和一个双曲线的离心率,则 取值范围是__________.

分析与简解：

依题意函数的三个零点即方程 的三根,且 ,故方程可等价为 有两不等根,一根在（0,1）上,另一根在（1,+∞）上,即 ,作出可行域,易求得直线a+b+1等于0与2a+b+3等于0的交点A为（-2,1）,故可求得 ,故 的范围应为 .

3.线性规划与概率交汇

例4：（江西赣州市2011年高三摸底考试）在平面xOy内,向图形 内投点,则点落在由不等式组 所确定的平面区域的概率为________.

分析与简解：

记事件A为点落在由不等组确定的区域内,作出该区域,如上图所示,易求得其面积为 ,另外试验的全部结果所构成的区域面积应为圆 的面积,应求得为4π,故 .

归纳：涉及到几何概型中的面积比常用到平面区域面积.又如

（1）（江西省九江市2011届高三七校联考）已知点P（x,y）在约束条件 所围成的平面区域上,则点P（x,y）满足不等式 的概率是________.

（2）（江西省吉安市2011届高三一模）已知函数 ,实数a,b满足 ,则函数 在[1,2]上为减函数的概率是（ ）

A B C D

4.线性规划与向量交汇

例5：（2011福建理科）已知O是坐标原点,点A（—1,1）,若点M（x,y）为平面区域上的一个动点,则 的取值范围是（ ）

A.[-1,0] B.[0,1]

C.[0,2] D.[-1,2]

分析与简解：

准确做出不等式组所表示的平面区域,如上图所示阴影区域：

由 表示 在 方向上的投影与 的模的积,观察易得点M分别在点B,D处使 取得最小值0,最大值2,故选C.

在2011年高考及各地模拟卷中,向量与线性规划交汇的题还有：

（1）（2011广东理）已知平面直角坐标系xOy上的区域D,由不等式组 给定,若M（x,y）为D上的动点,点A的坐标为 ,则 的最大值为（ ）

A.3 B.4 C. D.

（2）（江西省重点中学协作体2011届高三第二次联考）已知点P（x,y）满足条件 ,点A（2,1）,则 的最大值为（ ）

A. B. C . D. 2

参：（1）4 （2）5 （3）D（1） （2）B（1）B （2）D