学生在解答立体几何问题中暴露的诸多薄弱环节,突出表现为空间想象能力较差,空间概念模糊,从而导致计算、论证等方面的错误.本文根据平时常见错误加以剖析,仅供参考.
一、概念不清
例1.一个正方体A1B1C1D1-ABCD的棱长为a.
(1)过它的上底两邻边A1D1、D1C1的中点E1、F1和下底的中心O作一个截面,求这个截面的面积;(2)求E1与BB1的距离.
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图1
错解:(1)所求截面面积为△E1F1的面积.(2)E1与BB1中点连线的长,即为E1与BB1的距离.
诊断:(1)错因在于对平面这个基本性质未透彻理解.根据公理1、2,过E1、F1、O三点的平面与正方体的交线分别为E1F1、F1C和AE1,所以梯形E1F1CA才是所求截面.(2)对点到直线的距离概念的理解不确切、不深刻所致.实质上,E1与B1的连线的长,即为E1与BB1的距离.
改正:略.
二、直观图画错
例2.求半径为R的球内接正方体的体积.
错解:如图2,设正方体棱长为x,则
x2+x2等于(2R)2,
∴ x等于R.
故V正方形等于x3等于R等于R3.
图2 图3 图4
诊断:本题需根据题意正确的建立所需的直观图,学生在作轴截面图形时,未想到:如果轴截面也是正方体的对角面,则内接的并非是正方形而应是长方形(对角线长为)不内接于圆,如图4.
改正:略.
三、空间图形处理错误
例3.如图5,ABCD是正方形,E是AB的中点,如将△DAE和△CBE分别沿虚线DE和CE折起,使AE与BE重合,设A与B重合后的点为P,则平面PCD与平面ECD所成的二面角为( )度.(1993年全国高考理科23题)
错解:∵ PE⊥PC,
∠PCE就是所求二面角的平面角α.
图5
又在Rt△CDE中,PC等于BC,PE等于BE等于BC.
∴tgα等于.
故α等于arctg.
诊断:从表面来看,此解好像错因在于二面角的平面角的概念不清.事实上,应完全归咎于空间图形的处理能力低下.只凭题给的俯视图进行论证是相当困难的,关键是要正确想象,画出折叠后的空间图形,对照空间与平面图形,挖掘哪些位置与数量关系是不变的,哪些是变化的,才能有效地进行运算和推理.
改正:折叠后如图6,取DC中点F,连结PF、EF.由PD等于PC,ED等于EC,可知EF⊥DC,PF⊥DC,所以∠EFP为所求二面角的平面角.
图6
∵EP⊥PD,EP⊥PC.
∴EP⊥平面PCD.
∴EP⊥PF.
设正方形ABCD的边长为α,在Rt△EPF中,EP等于AE等于,EF等于AD等于α.
∴sin∠EFP等于等于等于.
∴∠EFP等于30°
故平面PCD与平面ECD所成的二面角为30°.
四、未加证明而计算
例4.如图7,已知平面α⊥平面β,α∩β等于MN,AC?哿α,BC?哿β,且AC⊥MN,BD⊥MN,AC等于6 cm,AB等于8 cm,BD等于24 cm,求CD的长度.
错解:∵AD等于8cm,
又∵AC⊥MN,
∴在Rt△ADC中,CD等于等于等于26 cm
图7
诊断:此解虽答数没错,但由AC⊥MN,就说△ADC为Rt△,这在立体几何中需要加以证明.
改正:略.
五、考虑不周
例5.已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形,则圆柱的体积是( ).(1984年全国高考理科试题)
错解:由题意,知圆柱底面周长为4,高为2.
∴V圆柱等于π2等于
故所求圆柱的体积是.
诊断:显然,此解中因思维不全面而漏掉了“当圆柱底面周长为2、高为4”这一种可能.
改正:略.
综上可见,学生错误是多种多样的.能预先知道学生在学习立体几何时常犯的错误,就可防患于未然,尽可能避免那些不应出现的错误.
?编辑 王团兰